[Lv1] 1장. 직류회로 ② 저항의 성질과 합성저항(직렬과 병렬)

안녕하세요!

1장 두번째 포스팅입니다

앞서서 전압,전류,저항에 대해서

그리고 옴의법칙과 키르히호프법칙을

살펴보았습니다

이번 포스팅에서는

'저항'의 특성에 대해

조금 더 살펴보려고 합니다

저항은 전류의 흐름을

방해하는 성분이라고 했습니다

저항의 크기가 클수록

전류가 더 많이 방해받으므로

전류의 크기는 작아진다고 했었죠

저항의 크기에 영향을 주는 요소는

어떤 것들이 있을까요?

① 저항의 길이 ② 저항의 단면적 ③ 고유저항

이렇게 세 가지가 있습니다

이번에도 물에 대응해서

살펴보겠습니다

① 저항의 길이

수로관을 잘 지나던 물이

물이 잘 흐르지 못하는

장애물을 통과한다고 해봅시다

이 장애물의 터널이 길수록

물의 흐름은 더 많이 방해받겠죠

즉 물의 흐름의 저항이 더 커집니다

마찬가지로

저항의 길이가 길수록

저항의 크기는 커집니다

② 저항의 단면적

수로관에서 물이 장애물을 만났을 때

장애물의 터널의 길이가 같다면

좀더 넓은 지역으로 통과할때

물이 수월하게 통과할 것입니다

좁은곳보단 넓은곳을 지나는것이

더 수월한 것이죠

넓다는 것은 

단면적이 크다고 표현할수 있습니다

즉 단면적이 클수록 

물의 흐름이 방해를 덜받습니다

저항이 작아진다는 것이죠

마찬가지로

저항의 단면적이 클수록

저항의 크기는 작아집니다

③ 고유저항

장애물의 재질이 어떻냐에 따라서

물의 흐름을 방해하는 정도가 커질수도

작아질수도 있을 것입니다

전기에서도 각각의 저항마다

전류를 방해하는 성질을 다르게 가지는데

이를 고유한 값으로 나타낸 것을

고유저항이라고 부릅니다

고유저항이 클수록

저항값이 커집니다

종합하면 

저항의 크기는

길이와 고유저항에 비례하고

단면적에는 반비례합니다

이를 식으로 나타내면

$$R=ρ\frac{l}{S}$$

( ρ : 고유저항 l : 저항의 길이 S : 저항의 단면적 ) 

입니다

***

다음은 저항의 직렬 연결과

병렬 연결을 살펴보려고 합니다

먼저 직렬연결입니다

직렬연결은 그림과 같이

전류가 흐르는 동일한 길에

각 저항이 서로 일직선으로

 이어져있는 형태입니다

병렬연결은 그림과 같이

전류가 흐르는 길이 갈라지는 형태로

저항이 평행하게 각각 놓여진 형태입니다

다음과 같이

저항이 3개 이상이 있는

경우도 있고 또한

직렬연결과 병렬연결이

함께 나타날 수도 있습니다

이제 직렬과 병렬연결에서의

합성저항을 각각 살펴보겠습니다

여러 저항이 함께 있을 때

이것을 하나의 저항인 것처럼

바꿔서 해석할 수 있는데 이를

 

합성저항을 구한다 라고 합니다

합성저항을 구하는 이유는

여러개의 저항을 

하나의 저항인것처럼 바꿔서

 회로 전체에 흐르는

총전류를 구하기 위함입니다

옴의 법칙에 의해

회로 전체의 전압을

회로 전체의 합성저항으로 나누면

회로 전체의 총전류를

구할 수 있는 것이죠!

그러면 합성저항을 구하는

방법을 살펴보겠습니다

직렬연결에서의 합성저항은

다음과 같이 그냥 더해주면 됩니다

2[Ω]의 저항과 3[Ω]의 저항이

직렬로 연결되어 있으면

5[Ω]짜리 저항 하나가

있는 것과 동일한 효과인 것이죠

( 저항을 직렬로 연결하면

저항의 길이가 길어지는 효과로

볼 수 있으므로 저항이 커집니다

(저항은 길이에 비례한다고 했죠)

따라서 합성저항 구하려면

더해주는 것이라고 생각할수 있습니다 )

병렬연결에서의 합성저항은

조금 복잡할 수 있습니다

역수를 취해 더한뒤

또 역수를 취하는 방식입니다

2[Ω]의 저항과 3[Ω]의 저항이

병렬로 연결되어 있으면

2의 역수인 $\frac{1}{2}$과

3의 역수인 $\frac{1}{3}$을

더한뒤

더한 결과($\frac{5}{6}$)를 다시 

역수를 취하여

$\frac{6}{5}$ 라는

합성저항을 얻는 것입니다

다시 말해

2[Ω]의 저항과 3[Ω]의 저항이

병렬로 연결되어 있으면

$\frac{6}{5}$[Ω] 즉 1.2[Ω]짜리의

저항 하나가 있는 것과

동일한 효과입니다

( 저항을 병렬로 연결하면

저항의 단면적이 커지는 효과로

볼 수 있으므로 저항이 작아집니다

(저항은 단면적에 비례한다고 했죠)

따라서 합성저항 구하면

역수를 취해줌으로써

각각의 저항보다

그 합성저항의 값이 작아지는 것이라고

생각할 수 있습니다 )

저항이 3개가 각각

직렬 또는 병렬로 연결되어도

합성저항의

계산방식은 동일합니다

직렬이면 모두 더해주고

병렬이면 각각의 역수를 더한뒤

다시 역수를 취해주면 됩니다

단, 병렬연결에서

저항이 2개뿐이라면

역수끼리 더하고

 다시 역수를 취하는 방법 말고도

합성저항 공식을 살짝 변형하면

이런 공식도 있습니다

$$R_0 = \frac{R_1 × R_2}{R_1 + R_2}$$

두 저항을 더한 값이 분모가 되고

두 저항을 곱한 값이 분자가 됩니다

이를 이용해 조금 전의

2[Ω]과 3[Ω]의 병렬 합성저항을

다시 계산해보면 다음과 같습니다

답은 동일하게 1.2[Ω]이 나옵니다

저항이 2개일 때는 합과 곱을 이용해

이처럼 쉽게 합성저항을

구할 수도 있습니다

단, 병렬연결에서 저항이 3개 이상이라면

위와 같이 합과 곱을 이용하는 공식말고

역수끼리 더해 역수를 취하는 공식을

사용해야 합니다

***

직렬과 병렬연결에서의

합성저항을 구하는 방법을

공부했습니다

마지막으로 직렬과 병렬연결에서

전류와 전압이 각각 어떻게

변화하는지를 살펴보겠습니다

먼저 전류의 변화입니다

직렬연결에서는

전류가 흐르는 길이 한 갈래이므로

어디에서나 전류의 크기는 동일합니다

병렬연결에서는

전류가 흐르는 길이 두 갈래 이상이므로

전류의 크기가 갈라지기 전과는

달라집니다

이전 포스팅에서 살펴본

키르히호프의 제1법칙에 따라

갈라지기 전의 전류는

갈라진 전류의 총합과 동일합니다

직렬연결에서는 전류가 일정하고

병렬연결에서는 전류가 일정하지 않다는

사실을 직관적으로 받아들일 수 있습니다

이제 전압의 변화를 살펴보겠습니다

직렬연결에서는 전류가 일정하다고

했었는데 전압은 어떤지 알아봅시다

앞선 포스팅에서 예제로 살펴봤던

회로를 보겠습니다

이 예에서 알 수 있듯이

직렬연결에서는 각각의 저항에

걸리는 전압이 달라질 수 있습니다

( 각 저항에서의 전압강하를

각 저항에서 걸리는 전압 이라고

표현하기도 합니다 )

 물론 위의 회로는 예시이며

$V_1, V_2, V_3$가 무조건

 5[V], 7[V], 8[V]인 것은 아닙니다

$R_1, R_2, R_3$의 값에 따라

달라질 수 있으며 세 저항의 값이

동일하다면 각 저항에 걸리는 전압은

동일할 수도 있습니다

다만, 저런식으로 전압이 

항상 일정한 것이 아니며

각각 달라질 수도 있다는 것이

직렬연결에서의 전압변화의 특징이라고

할 수 있겠습니다!

병렬연결에서는 어떨까요?

지난 포스팅에서 전압강하를 공부할 때 

(+)극에서 나올때 가진 전압이

저항을 통과하고 나면 

가진 전압을 모두 소모하고

(-)극으로 들어가기 직전에는

0[V]가 된다고 했었죠

병렬연결된 저항 덩어리를

 통과하고 나서도

이는 동일하게 적용됩니다

(+)극을 출발한 전류는

병렬저항을 만나 갈라지고

병렬저항 덩어리를 지난뒤 

다시 합쳐져 (-)극으로 돌아갑니다

따라서

전류가 $R_1, R_2, R_3$ 구간으로 나뉘어

흐르게 되지만

어떤 길을 지나든 

각자 가진 전압에너지를 모두 소모하고

0[V]가 되어야 합니다

따라서

$R_1$을 지날 때도

$R_2$을 지날 때도

$R_3$을 지날 때도

동일하게 10[V]의 전압강하가

발생합니다

즉, 병렬연결에서는

각 저항에 걸리는 전압이 동일합니다

설명 과정은 이해를 돕기위한 것으로

결과적으로

병렬에서는 전압이 동일하다는 것을

기억하면 됩니다!

정리하면

저항의 직렬연결에서는 전류가 일정하고

저항의 병렬연결에서는 전압이 일정합니다

간단하게 예제 두 문제를

 풀어보겠습니다

1)

전류 $I_2$와 $I_4$를 구하라고 하면

키르히호프 제1법칙에 의해

$I_1=I_2 +I_3=I_4$가 됩니다

$I_2 +I_3 =5[A]$가 되므로 

$I_2 = 3[A]$가 되고

$I_4$는 나뉘어졌던

$I_2$와 $I_3$가 합쳐지므로

다시 $5[A]$가 됩니다

2)

전압 $V_2$와 $V_4$를 구하라고 하면

우선 하나짜리 $R_1$ 저항에서

5[V]가 소모 되었으므로

$R_2 , R_3, R_4$ 전체 병렬덩어리에서

7[V]가 소모되어야 합니다

따라서 $V_4 = 7[V]$가 됩니다

병렬연결에서는 전압이 동일하므로

$R_2$와 $R_3$에서도 7[V]가 

걸리게 되고

$V_2$와 $V_3$을 합쳐 7[V]가 

소모되어야 하므로

$V_2 = 3[V]$ 가 됩니다

여기까지가

두 번째 포스팅 내용입니다

< 요약 >

1장 두 번째 포스팅을 

마무리하겠습니다

1장에서는

회로 해석의 기본이 되는 부분 위주로

다루고 있습니다

개인 일정과 그리고 취업 공부와 병행해서

포스팅을 하는 것이 쉽지는 않지만

부족한 저의 정리가

도움이 되는 분이 계신다면 

보람도 느끼고 더욱 열심히 해야겠다는

생각이 드네요

저의 공부에도 도움이 되는만큼

최대한 자주 올려보도록

노력하겠습니다

이어지는 1장 다음 포스팅에서도

꼭 알아야할 기본 내용을

살펴보겠습니다 :)