[Lv1] 4장. 유전체 ① 유전체와 비유전율, 경계조건

안녕하세요!

전기자기학 4장으로 넘어왔습니다

2장과 3장의 내용이 개념적으로 

계속 이어지기 때문에 앞장 내용들도 

잘 알고 있어야겠습니다

2장 정전계에서 각 도체의 전위와 전계를

계산하는 공식들을 알아봤고

3장 도체계에서 도체와 도체 사이의 정전용량을

계산하고 콘덴서에 축적되는 에너지까지

살펴봤습니다

이 때 2장과 3장에서 공부한 내용들은

진공중 또는 공기중에서 다루는 것이라는

특징이 있습니다

(진공과 공기는 동일하게 취급합니다)

별다른 언급이 없다면 진공이나 공기중이라고

생각하면 되는데요

4장에서는 진공(공기)이 아닌 상황에서

전계나 전위 등을 구하면 어떻게 되는지를

공부하는 챕터입니다

4장 제목이 '유전체' 라고 되어 있네요

진공이 아닌 물질에서의

전계, 전위, 정전용량 등을 이야기할 때

진공이 아닌 그 물질을 유전체라고 부른다고

 이해하시면 될 것 같네요

* 유전율

먼저 유전율이라는 개념을 보겠습니다

사실 $ε_0$라는 기호로 2장부터 쭉 봐왔던 것이 바로

유전율이라는 것인데요

(2장 쿨롱의법칙 공부하면서 $ε_0$ 유전율 개념을

4장에서 자세히 다루겠다고 했었습니다)

당시에 '전하가 잘 움직이는 정도'라고 우선 

이해하자고 했었습니다

전하가 얼마나 잘 움직일 수 있냐는 것은

매질, 즉 전하가 존재하는 공간이 어디냐에 따라

달라집니다 어찌보면 당연한 얘기죠

공기중에서와 물속에서와 갯벌에서

사람이 잘 움직일 수 있는 정도가 다르듯이

전하도 진공, 물, 기름 또는

기타 유전체 속에서의 움직임이 각각 다를것입니다

$ε_0$라고 함은 공기(진공)에서 

전하가 잘 움직일 수 있는 정도를 나타내는 물리량입니다

'공기(진공)' 이라는 말이 핵심인거죠

( 엄밀하게는 '전하를 얼마나 잘 묶어둘수있는가' 의 의미에 가깝습니다

잘 묶어둔다는건 곧 전하가 잘 움직이지 못한다는 의미죠

따라서 그 값이 작을수록 전하가 잘 움직이는 매질이라고 보시면 되는데

그냥 "전하가 잘 움직이는 정도" 로 이해하셔도 충분합니다 )

공기나 진공이 아닌 물질에서는 유전율이 $ε_0$가 아닌

각각의 고유의 유전율을 가지게 됩니다

일반적으로 어떤 물질의 유전율을 $ε$ 로 표현합니다

진공중에서의 유전율은 $ε_0$가 되구요

어떤 물질의 유전율 $ε$는

$ε=ε_0 ε_s$ 로 계산합니다

$ε_0$는 $8.85×10^{-12}$으로 고정된 값이구요

$ε_s$는 비유전율이라고 하는데

유전율이 아니라는 뜻이 아니라 

비율을 의미하는 '비'입니다

$ε_s$ 또는 $ε_r$로도 표현합니다

비유전율은 어떤 물질이냐에 따라

각각 다릅니다

진공중에 비해 몇배다 라고

$ε_0$의 배수로 표현하는거죠

공기나 진공중에서는 $ε_s=1$ 입니다

따라서 $ε=ε_0$ 가 되는 것이죠

 

2장과 3장에서 공부했던 모든 공식에서

$ε_0$ 대신 $ε$를 넣으면 

유전체에서의 공식이 됩니다

비유전율이 주어진다면

$ε=ε_0 ε_s$로 계산하면

유전율 $ε$ 을 구할 수 있습니다

문제에서 유전체라는 말이 나오거나

비유전율이 주어지면

$ε_0$가 아닌 $ε$를 생각해야 합니다

이제부터는 지금까지 공부했던 모든 공식들에서

$ε_0$ 대신 $ε$라고 생각하시면 됩니다

(이건 3장에서 풀었던 문제인데요

사실 보기에 $ε_0$가 아니라 $ε$이므로

엄밀하게는 4장에서 다뤄야 되는 문제이지만

이 문제처럼 $ε_0$와 $ε$가 

보기에 같이 나오지 않는다면

공식모양은 동일하기 때문에

답을 고르는데는 지장이 없어서

3장에서 다루었습니다

이런식으로 모든 공식의  $ε_0$를 $ε$로 바꿔서

생각하면 됩니다

동축원통 정전용량은 기억하고 계시죠?

답 ③번입니다 )

결론은 2장과 3장의 모든 공식에서

 $ε_0$를 $ε$로 바꾸면 된다는 것이고

$ε=ε_0 ε_s$로 계산할 수 있다는 것입니다

* 유전체의 경계면 조건

사람도 공기 중에 있다가 물 속으로 들어가면

걷는 데 힘도 들고 속도가 느려지듯이

한 유전체에서 다른 유전체로 들어가면

전계나 전속밀도 등이 달라집니다

빛이 공기중에서 물속으로 들어가면

굴절해서 진행방향이 달라지는 것처럼

전계(E)나 전속밀도(D)도 직진해서 오다가

 다른 유전체로 입사하면

굴절하는 성질이 있습니다

이 때 E 와 D가 유전율이 달라지면서 

어떻게 변하고 입사각($θ_1$) 및 굴절각($θ_2$)과

어떤 관계가 있는지를 살펴보는 것이

유전체의 경계조건에서 알아볼 내용입니다

 아래의 내용을 기억하면 됩니다

<유전체의 경계면조건>

유전율이 서로 다른 두 유전체의 경계면에서

① 전계(E)의 수평성분(접선성분)이 같습니다

$$E_1 sinθ_1 = E_2 sinθ_2 $$

② 전속밀도(D)의 수직성분(법선성분)이 같습니다

$$D_1 cosθ_1 = D_2 cosθ_2 $$

③ 위의 두 식과 $D=εE$ 관계를 이용해서 식을 

정리하면

$$\frac{tanθ_1}{tanθ_2}=\frac{ε_1}{ε_2}$$

또는

$$ε_1 tanθ_2 = ε_2 tanθ_1$$

이 성립합니다

수식이나 개념적으로 이해하기는 어렵고

암기를 해야하는 부분입니다

E와 sin, D와 cos이 연결됨을 유의해서

외워줍시다

문제에서 '유전체'라는 말과 함께

각도 $θ_1$, $θ_2$라는 말이 나온다면 경계조건의

내용을 떠올리면 됩니다

①번과 ②번의 한글로 된 문장과

①②③번의 식의 모양을 모두 알아둡시다!

저 공식과 문장을 그대로 물어보기도 합니다

각도 $θ_1$ 또는 $θ_2$를

계산하라는 문제가 나오기도 합니다

그때는 ③번 공식을 이용해서 풀면 됩니다!

* 전속선의 분포

전속이 지나가는 가상의 선을 나타낸 것이 

전속선입니다

유전율이 변할 때 

전속선은 

유전율이 작은 곳보다 큰쪽을 지날때

촘촘하게 모이는 경향이 있습니다

연습문제 풀어보겠습니다!

1

2

3

4

5

1

'단위체적당 정전에너지' 라는 말이 보이네요

문제에 전속밀도 D가 주어졌으니

$$w=\frac{1}{2}ε E^2=\frac{1}{2}DE=\frac{D^2}{2ε}  [J/m^3]$$

이 공식을 떠올려야겠습니다

(유전체라는 말이 있으므로

$ε_0$ 대신 $ε$으로 생각해주면 됩니다)

문제에 전계 E는 주어지지 않았고

전속밀도 즉 D와  단위면적당 정전에너지(w)가 주어졌기 때문에 

세 공식중에 $w=\frac{D^2}{2ε}$

를 이용해 $ε$를 구할 수 있습니다

$$ε=\frac{D^2}{2w}=\frac{(4.8×10^{-7})^2}{2×(5.3×10^{-3})}=2.17×10^{-11}$$

답은 ②번입니다

2.

유전체라는 말이 보이고

각도 $θ_1$,$θ_2$라는 말이 보이면

경계조건을 묻는 문제라고 했었죠

$$E_1 sinθ_1 = E_2 sinθ_2 $$

$$D_1 cosθ_1 = D_2 cosθ_2 $$

$$\frac{tanθ_1}{tanθ_2}=\frac{ε_1}{ε_2}$$

또는

$$ε_1 tanθ_2 = ε_2 tanθ_1$$

이 식을 기억한다면 답을 쉽게 찾을 수 있습니다

E는 sin과 연결되고

D는 cos과 연결되는거였죠

답은 ③번입니다

3.

전속선의 분포에 대한 그림이네요

전속선은 유전율이 큰쪽으로 모인다고 했었죠

선이 원안에서 촘촘하게 모이는 것으로 봐서

원 안의 유전율인 $ε_1$이 $ε_2$보다 크다고

볼 수 있습니다

답은 ①번입니다

4. 

단위체적당 에너지밀도라는 말이 보이네요

$$w=\frac{1}{2}ε E^2=\frac{1}{2}DE=\frac{D^2}{2ε}  [J/m^3]$$

이 공식을 이용하는 문제입니다

전계라는 말과 함께 ε도 보이는걸봐서

$$w=\frac{1}{2}ε E^2$$

이 공식을 쓰면 될 것 같군요

전계 E가 일정하기 때문에 

에너지가 크려면 $ε$가 커야되겠네요

 $ε=ε_0 ε_s$에서 비유전율이 큰 게

$ε$도 크고 에너지도 클 겁니다

(여기서는 비유전율을 $ε_r$로 줬네요)

결국 비유전율이 큰 순서대로 나열하면

정답이 됩니다

답은 ②번입니다

5.

유전체라는 말은 없지만

각도 $θ_1$,$θ_2$라는 말이 보이고

그림을 보면 대놓고 경계조건 문제임을 알 수 있습니다

이번엔 각도를 계산하는 문제네요

각도를 물어보면

$$\frac{tanθ_1}{tanθ_2}=\frac{ε_1}{ε_2}$$

이 공식을 이용해 풀면 된다고 했습니다

$θ_2=30˚$이고 $ε_1=4$, $ε_2=1$ (진공의 $ε_s =1$)

이므로

$$\frac{tanθ_1}{tan30˚}=\frac{4}{1}$$

$$tan30˚=\frac{1}{\sqrt{3}}$$ 

이므로

$$tanθ_1 = \frac{4}{\sqrt{3}}$$

$$θ_1=tan^{-1} \frac{4}{\sqrt{3}}$$

삼각함수 계산이 가능하시면

답이 제대로 나오는지 확인해보세요

계산이 어려우시면 넘어가셔도 됩니다

답은 ①번입니다

< 요약 >

4장 첫번째 내용 살펴봤습니다

삼각함수가 들어가니 어쩔수없이 

복잡해 보일 수 있을 것 같습니다

쉽게 설명하려고 노력하는데 

어떻게 느껴지실지 모르겠네요

최대한 쉽고 문제가 잘 풀리는 방향으로

설명하도록 해보겠습니다

역시나 모든 내용을 다루는 것이 아니고

자주 나오고 첫번째 회독에서 그나마 쉽게 

접근할 수 있는 내용 위주로 살펴보고 있습니다

2회독 3회독 넘어가면서

더 많은 내용을 다룰 예정인데

속도를 내야겠습니다

다음 포스팅으로 찾아올게요

감사합니다!!