[Lv1] 4장. 유전체 ② 유전체를 삽입한 콘덴서

안녕하세요!

4장 유전체 두번째 포스팅입니다

오늘 공부할 내용은

"유전체를 삽입한 콘덴서" 입니다

유전체란 '전하가 움직이는 공간' 중에

진공이나 공기를 제외한 물질들이라고

이해하면 된다고 했었죠

3장에서 콘덴서의 직병렬 연결에 대해

알아본적이 있습니다

그러면서 그 내용은 

4장의 유전체삽입 부분을 이해하기 위해

설명하는 것이라고 했었습니다

3장에서 다룬

평행판콘덴서의 정전용량 공식은

$$C=\frac{ε_0 S}{d}$$

입니다

이것은 콘덴서 사이가

진공 또는 공기로만 되어있을 때의 공식입니다

유전율이 ε인 유전체가 콘덴서 사이를

채우고 있다면 정전용량은

$$C=\frac{εS}{d}$$

가 될 것입니다

이 유전체가 비유전율이 $ε_s$이라면

$$C=\frac{ε_0 ε_s S}{d}$$

로도 표현이 가능하겠죠

여기서 만약에

콘덴서 사이를 공기만으로 채우거나

유전체만으로 채우는 것이 아니라

공기반 유전체반 으로 채운다면?

이러면 얘기가 좀 복잡해집니다!!

공기로 채워진 부분의 정전용량과

유전체로 채워진 부분의 정전용량을

따로 계산한 뒤에

두 개의 정전용량을 합성해야 하는 거죠

유전체를 콘덴서 사이에 어떤 식으로

채우느냐에 따라 

두 정전용량을 합성하는 방식도 달라집니다

공기와 유전체가 

마치 직렬로 연결된것처럼 될때도 있고

병렬로 연결된것처럼 될때도 있습니다

문제를 보고 직렬인지 병렬인지부터 

제대로 구분할 수 있어야합니다!

간격을 나누면 직렬이고

면적을 나누면 병렬입니다

(그림이 안나올 때도 있어서

문제에서 무엇을 나눴는지

파악해야 합니다)

 콘덴서가 세로로 나와도 

헷갈리지 않아야 합니다

각각의 정전용량을 계산하고

직렬인지 병렬인지 판단한 후에

3장에서 공부한 콘덴서의 직병렬 공식을

적용해 합성정전용량을 구하는 것입니다

콘덴서 2개를 직렬 또는 병렬연결하면

1) 직렬연결

$$C=\frac{1}{\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}}=\frac{C_1 C_2}{C_1 +C_2}$$

2) 병렬연결

$$C=C_1 + C_2$$

이라고 했었습니다

이를 적용하면 됩니다

이렇게 합성한 정전용량이

최초에 콘덴서 넣기전

공기만 있을 때의 정전용량의

몇배인지를 찾는 문제가 많습니다

최초의 정전용량을 보통 $C_0$라고 

표현하는데

최종적으로 구한 정전용량은

$C_0$의 배수로 표현됩니다

문제로 확인해보도록 합시다!

1

2

3

4

1

유리판 즉, 유전체를 삽입한 콘덴서 문제네요

간격의 1/2두께라고 했으니 간격을 나눈거네요

간격을 나누면 직렬! 이라고 했었죠

이 문제는 친절하게 직렬이라고 말해줬네요

유리판쪽 정전용량과

공기쪽 정전용량을 구해서

직렬로 합성하면 됩니다

여기서 0.06[μF]라고 주어진건

최초에 공기만 있을 때의 정전용량입니다

이런 문제를 풀때 최초의 정전용량을

 최초의 면적(S)과 간격(d)으로 표현을 해두는 것이 좋습니다

그림을 그려서 푸는게 

헷갈리지 않습니다

합성 정전용량 계산후 

$\frac{ε_0 S}{d}$를 

따로 분리해낼 수 있어야합니다

그런다음 $C_0$로 바꿔줘야

마무리가 됩니다

답은 ③번입니다

2.

비슷한 문제입니다

유리판을 넣은, 즉 유전체를 삽입한 콘덴서 문제구요

간격의 절반이라는 말에서 간격을 나눴음을 알수있고

간격을 나누면 직렬임을 알 수 있습니다

최초의 $C_0=0.2[μF]$로 주어졌네요

최초의 $C_0$를 S와 d와 $ε_0$로 표현해두고

나머지를 그림을 그려서 풀면 됩니다

답은 ②번입니다

3

유리판, 즉 유전체를 삽입한 콘덴서 문제입니다

판간격의 1/2이라는 말에서 간격을 나누었음을 알수있고

간격을 나누면 직렬임을 알수있습니다

최초의 정전용량이 $C_0$로 주어졌네요

이것을 S와 d와 $ε_0$로 표현해두고

나머지를 그림 그려서 풀면 됩니다

사실상 1~3번 문제가 동일한 과정의 문제네요

풀이과정은 1~3번이 사실상 동일합니다

숫자가 바뀌거나 문자로 주어지는 것만 다르네요

분수계산이 조금 복잡하게 느껴질 수도 있지만

차근차근 해보시면 이해가 되실거예요

$ε_s$가 주어져있지 않아서 비유전율을

$ε_s$로 가정하고 계산을 했습니다

면적S와 헷갈릴수 있으니

$ε_r$로 놓는 것도 좋겠네요

답은 ③번입니다

4번으로 넘어가기전에..

사진의 풀이에도 적혀있듯이

간격을 절반으로 나누는 문제가 많이 나와서

붉은색으로 표시된 부분을 공식처럼 외워서

사용하기도 합니다

'유전체를 넣어 간격을 절반으로 나누는 경우'

$$C=\frac{2ε_s}{1+ε_s} C_0$$

이 공식에 넣어 답을 바로 낼 수도 있습니다

1번문제를 보시면

$C_0$가 0.06[μF]이고 $ε_s$가 5이므로

$C=\frac{2×5}{1+5}×0.06=0.1[μF]$가 바로 나오네요

2번문제를 보면

$C_0$가 0.2[μF]이고 $ε_s$가 10이므로

$C=\frac{2×10}{1+10}×0.2=0.36[μF]$가 바로 나오네요

간격을 절반으로 나눈다는 말이 있다면

$$C=\frac{2ε_s}{1+ε_s} C_0$$

를 사용하면 쉽게 답이 나옵니다!

그게 아니라면 계산을 

반드시 해줘야 합니다

4.

에보나이트판이라는 유전체를 삽입한 콘덴서 문제네요

극판 면적 $\frac{2}{3} S$에 에보나이트판을 넣었다고 하네요

면적을 나누었다는 뜻이니 이건 병렬연결입니다

최초의 정전용량 $C_0$를

$C_0=\frac{ε_0 S}{d}$로 놓고

각각의 정전용량을 $C_0$로 표현할 수 있으면

답이 수월하게 나옵니다 

답은 ④번입니다

최초의 정전용량 $C_0$의 모양이 나오도록

식을 변형하는 연습이 필요합니다

정전용량을 구한 뒤에 

$\frac{ε_0 S}{d}$를 따로 빼내는 연습을 하면

좋을 것 같아요 

$\frac{ε_0 S}{d}$를 분리해내면

$C_0$로 바꾸기만 하면 끝납니다

개념과 공식적용이 어려운 부분은 아니지만

분수와 수식을 다루는게 익숙지 않다면 

조금 힘들 수 있는 파트입니다

반복해서 풀어서 익숙해지면 좋고

정 힘들다면 문제에 '간격이 1/2' 이라는말이 나올때

쓰는 공식인

$$C=\frac{2ε_s}{1+ε_s} C_0$$

라도 암기해서 그 경우만이라도

답을 쉽게 찾는것도 방법입니다

< 요약 >

4장은 이것으로 마무리하겠습니다

계산과정이 복잡하게 느껴질수도 있는데

스스로 몇번 문제를 풀어보시면 본인만의

더 좋은 방법을 찾으실 수 있을 거라 생각합니다

그럼 5장으로 다시 찾아오겠습니다~!