[Lv1] 5장. 전기영상법(무한평면 및 접지구도체와 점전하, 대지면과 선전하)

안녕하세요

어느덧 5장으로 넘어왔네요

이 장은 전계의 특수해법이라고 하는

전기영상법에 대한

내용을 다룹니다

어떤 특수한 상황에서의 전하밀도나

힘의 크기등을 구하는 방법을 공부하게 되는데

공식 몇개만 암기하고 넘어가면

그 공식만 물어보는 문제가 대부분이므로

간단하게 정리하고 넘어갈 수 있습니다

전기영상법에서 영상이라는 말은

회로이론이나 전력공학에서의 영상분과는

다른 의미입니다

여기서는 이미지(image)의 의미입니다

가상의 전하가 존재한다고 가정한다는 의미입니다

전기영상법을 이용한 문제풀이는

크게 세 가지 범주로 나눠집니다

1) (접지)무한평면과 점전하

2) 접지 구도체와 점전하

3) 대지면과 선전하 

1) (접지)무한평면과 점전하

+Q[C]의 어떤 점전하와 

거리 d 만큼 떨어진 지점을 살펴봅시다

그 지점에서 반대쪽으로 d 만큼 떨어진 곳에 

-Q[C]이 있다고 해봅시다

두 점전하로부터 같은거리 d 만큼 

떨어진 지점의 전위를 구해보면

두 점전하에 의한 전위를 합한 것이 되므로

$$\frac{+Q}{4πεr^2}+\frac{-Q}{4πεr^2}=0$$

이 됩니다

공간에서 어떤 두 점전하와 같은 거리에 있는 점은

셀수없이 많겠죠. 그 점을 다 합치면

무한평면이 됩니다

다시 말해 두 점전하 +Q[C]과 -Q[C] 사이에

같은 거리 d 지점에 평면이 있다면

그 평면의 전위 V=0이 될 것입니다

반대로 생각해봅시다

+Q[C]의 점전하와 d 만큼 떨어진 곳에

접지된 무한평면이 있다고 해봅시다

(여기서 접지란 땅과 연결했다는 뜻으로

대지의 전위는 통상 0으로 보기때문에

대지와 연결된 도체의 전위는 0이 됩니다

즉 접지된 무한평면이라는 것은

전위가 0인 평면이라는 것이죠)

접지된 무한평면과 점전하 사이에

작용하는 힘을 구하라고 한다면

무한평면과 점전하 사이의 힘을 구하는 공식은 

따로 없어 구하기 어렵지만

무한평면의 반대쪽에 크기는 같고 부호는 반대인

-Q[C]의 전하가 존재한다고 가정하고

두 점전하 사이의 힘의 크기를 계산함으로써

접지된 무한평면과 점전하 사이의 힘을 구할 수 있습니다

(이때 우리가 가정한 -Q[C]의 전하를

영상전하라고 합니다

가상의 전하라고 생각하면 됩니다)

+Q[C]과 -Q[C] 사이에 같은 거리만큼 떨어진 평면의

전위가 0이라는 말은 곧

+Q[C]의 점전하에서 d 만큼 떨어진 곳에

전위가 V=0인 평면이 있다면

반대쪽 d만큼 떨어진 곳에 -Q[C]이 있는거다

라고 반대로 생각할 수 있는 거죠

따라서 두 점전하 사이의 

그럼 두 점전하끼리는

2d만큼 떨어진 셈이니

쿨롱의 법칙을 이용해

힘을 구하면

$$F=\frac{(+Q)(-Q)}{4πε(2d)^2}=-\frac{Q^2}{16πεd^2} [N]$$

이 됩니다

부호가 (-)라는 말은 

'항상 흡인력이 작용한다' 라는 의미입니다

만약 무한평면과 d 만큼 떨어진 곳의 Q[C]의 전하를

무한히 멀리 떨어뜨릴때

(무한원점까지 운반할때)

필요한 일의 양을 구하라고 하면

$$W=F×d=\frac{Q^2}{16πεd^2}×d=\frac{Q^2}{16πεd} [J]$$

입니다

문제에 나오면 보기가 

$\frac{Q^2}{4πεd}$ , $\frac{Q^2}{8πεd}$ , $\frac{Q^2}{16πεd}$

이런식이므로 $Q^2$ 이 분자일때

분모에 $16π$가 있는 모양이면 

무조건 답이라고 생각하면 됩니다

* 최대전하밀도

무한평면도체와 점전하 사이의 전하분포는

둘 사이의 위치나 거리에 따라 달라지는데

전하밀도가 최대가 되면 그 값은

$$σ_{max} =-\frac{Q}{2πd^2} [C/m^2]$$

이 됩니다

문제에서 거리를 d가 아니라 a로 줄때도 있는데 

그러면 $σ_{max} =-\frac{Q}{2πa^2}$ 가 되겠죠

무한평면과 점전하에 대한

전기영상법 내용을 살펴봤습니다

2) 접지 구도체와 점전하

반지름이 a인 접지된 구도체와

 d만큼 떨어진 곳에 

점전하 Q[C]이 있다고 해봅시다

무한평면에서는 영상전하가 평면의 반대쪽에

같은거리만큼 떨어진 지점에 생긴다고 했었죠 

접지된 구도체는 영상전하가 어디에 생길까요?

영상전하는 구도체에 내부에 존재하고

그 위치는

$$\frac{a^2}{d}$$ 

입니다

삼각형의 닮음을 활용하여 유도할 수 있지만

결과만 기억하면 됩니다

영상전하의 크기는 어떻게 될까요?

$$Q'=-\frac{a}{d} Q$$

즉 점전하와 부호도 다르고 크기도

$-\frac{a}{d}$배가 됩니다

무한평면에서는 +Q[C]에 해당하는 영상전하가

-Q[C]으로서 부호는 다르지만 크기는 같았는데

접지구도체에서는 크기도 다르네요

영상전하의 위치와 크기를 잘 기억합시다!

 항상 흡인력이 작용하는 것은 동일합니다

3) 대지면과 선전하

대지면은 V=0이라고 접지 설명하면서

말씀드렸습니다

대지면은 무한접지평면으로 볼수있는거죠

대지에서 h[m] 높이에 

선전하밀도 λ $[C/m]$의 긴 선전하가 있을때

대지면과 선전하 사이에 작용하는 힘을 

구하라고 하면

대지 아래로 h[m]에

선전하밀도 -λ $[C/m]$의 선전하가 있다고

가정하고 

두 선전하끼리의 힘을 구하면 됩니다

선전하끼리 떨어진 거리는 2h가 되는 셈이겠네요

선전하의 전계는 2장에서 배웠지만

힘은 배우지 않았네요

대신 $F=QE$를 이용해 $F$를 구할 수 있습니다

$F=QE$인데 $Q$ 대신 $λ$로 주어졌으므로

$$F=λE=λ×\frac{λ}{2πε(2h)}=\frac{λ^2}{4πεh}$$

가 됩니다

역시나  항상 흡인력이 작용하는 것은 동일합니다

식을 외우는 것보다

$$F∝\frac{1}{h}$$

즉, h에 반비례한다

라는 사실을 기억합시다

전기 영상법이 사용되는 3가지 

케이스의 도체를 살펴봤습니다

설명이 길다면 길었을수 있는데

결국 외워야할 것만 요약하면 다음과 같습니다

1) 접지무한평면과 점전하

① 접지무한평면과 점전하 사이에 작용하는 힘  : $\frac{Q^2}{16πεd^2} [N]$

(크기만 따지면 부호 안붙여도 되고

부호도 따져야 하면 (-)붙여줍니다)

② 항상 흡인력이 작용

③ 무한원점까지 옮기는데 필요한 일 : $\frac{Q^2}{16πεd} [J]$

④ 최대전하밀도 : $-\frac{Q}{2πa^2} [C/m^2]$

2) 접지구도체와 점전하

① 영상전하의 위치 : $\frac{a^2}{d}$

② 영상전하의 크기 : $Q'=-\frac{a}{d} Q$

③ 항상 흡인력이 작용

3) 대지면과 선전하

① 선전하가 지면으로부터 받는힘 : h에 반비례한다($F∝\frac{1}{h}$)

② 항상 흡인력이 작용

문제 풀이로 정리해보겠습니다

1

2

3

4

5

1

평면과 점전하라는 말이 나오면

전기영상법 중 무한평면과 점전하에 대한 문제입니다

최대전하밀도를 물었네요

외운대로 답을 고르면 됩니다

답은 ③번입니다

2

접지된 구도체와 점전하라는 말이 나오면

전기영상법 중 접지된 구도체와 점전하에 대한 문제입니다

사실상 문제 안에 모든 힌트가 다 있는거죠

전기영상법에서 나오는 모든 도체들은

항상 흡인력이 작용한다고 했었습니다

(흡인력, 흡입력 모두 같은 말로 보면 됩니다)

답은 ①번입니다

3

평면과 점전하라는 말이 나오면

전기영상법 중 무한평면과 점전하에 대한 문제입니다

힘이나 필요한 일을 물으면 무조건

$Q^2$ 아래 $16π$가 들어간걸 고르면

된다고 했었습니다

답은 ③번입니다

4

대지면과 선전하라는 말이 나오면

전기영상법 중 대지면과 선전하에 관한 문제입니다

힘은 h에 반비례한다고 했었죠

답은 ④번입니다

5

평면과 점전하라는 말이 나오면

전기영상법 중 무한평면과 점전하에 대한 문제입니다

3번과 같은 문제같지만 d가 r로 바뀌어있습니다

힘이나 필요한 일을 물으면 무조건

$Q^2$ 아래 $16π$가 들어간걸 고르면

된다고 했었죠

답은 ③번입니다

<요약>

5장은 이것으로 마무리하겠습니다

Lv1 첫회독이지만 5장의 내용은 이후에도

추가로 다룰 내용이 거의 없다고 봐도 무방합니다

3가지 케이스별로 요약된 공식들만 

잘 적용할 수 있으면 쉽게 풀수있습니다

계속해서 힘내봅시다

다음은 6장을 포스팅하겠습니다

감사합니다!