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[Lv1] 6장. 전류 ① 저항과 옴의법칙, 저항과 정전용량의 관계전기기사/Lv1 전기자기학 2019. 3. 12. 14:09
안녕하세요!
어느덧 6장입니다
전기자기학이 크게 전기와 자기파트로
나눠지는데요
6장까지가 전기 파트이고
7장부터 자기 파트를 다루게 됩니다
이번 장이 끝나면 전기 부분이 마무리되는거네요
그럼 시작하겠습니다~!
6장 제목은 전류입니다
2장의 정전계가
'정지해 있는 전하들의 공간' 이라고
했었던 것 기억하시나요
그동안 멈춰있는 전하 또는 도체가
진공 또는 유전체에서 받는 힘과
전위 등을 계산했는데요
이번 장에서 다루는 '전류'는
'움직이는 전하'에 대한 내용이라고
생각하시면 될 것 같습니다
(+)와 (-)로 구성된 전원을
전선으로 연결하여 회로를 구성하면
(+)와 (-) 사이에 전위차가 발생하여
지속적으로 (-)전하가
(+)쪽으로 이동하는 전하의 흐름이 생깁니다
(회로이론에서 자세히 다룹니다)
이러한 흐름을 전류라고 하는데
전류가 얼마나 강하게 흐르는지를
정의한 식이 있습니다
전류의 세기의 정의는
'단위시간당 도선의 단면을 통과한 전하량'
입니다
좀더 쉽게 설명하면
'일정 시간동안 얼마나
많은 전하량이 이동했나'
라고 할 수 있고 식으로는
$$I=\frac{Q}{t}$$
입니다
단위는 [C/s] 또는 [A] (암페어)입니다
전하량은
$$Q=I·t$$
로 표현 가능하네요
같은 시간 동안 많은 전하량이 이동한다면
전류의 세기가 세다고 볼 수 있겠네요
* 저항(R)
이러한 전류의 흐름을 방해하는 요소를
저항이라고 합니다
단위는 [Ω] (옴) 입니다
전하의 이동을 방해하는
장애물이라고 보시면 됩니다
저항이 크면 클수록
전하의 이동이 많이 방해받으니
전류의 세기가 약해지겠죠
저항의 크기에 영향을 주는 요소는
저항의 길이와 단면적,
그리고 고유저항입니다
(1) 저항의 길이
장애물의 길이가 길면 그만큼
전하의 이동이 더많이 방해받는 것이므로
저항의 크기는 길이에 비례합니다
(2) 저항의 단면적
장애물의 면적이 넓으면 좁을 때보다
전하가 수월하게 통과할 수 있으므로
저항의 크기는 단면적에는 반비례합니다
(3) 고유저항
그리고 고유저항이라는 요소가 더있는데요
장애물의 재질이나 형태에 따라
전하를 방해하는 정도가 다 다르겠죠
물질마다 각각 다르게 가지고 있는
전하를 방해하는 성질을
고유한 상수값으로 나타낸 것을
고유저항이라고 합니다
(또는 저항률이라고도 합니다)
저항의 크기는 고유저항에 비례합니다
이를 종합하면 저항의 크기를
계산하는 공식은
$$R=ρ\frac{l}{S}$$
입니다
( $ρ$는 고유저항, $l$은 길이, $S$는 단면적입니다 )
저항에서 길이나 단면적, 고유저항이라는
말이 나오면 이 공식을 사용하면 됩니다
고유저항이 물질마다의 고유한 값으로
전류를 방해하는 정도를 의미하는데
반대로 전류를 잘 흐르게 하는 정도를
'도전율'로 정의합니다
전도율이라고도 하구요
기호로는 σ 또는 $k$라고 합니다
도전율은 고유저항의 역수로 정의합니다
$$σ=\frac{1}{ρ}$$
고유저항이 작은 물질은
전류를 잘 흐르도록 하는 물질이 되는거니
도전율이 크다고 할수 있습니다
* 옴의법칙
전류는 저항이 클수록
약해지므로 저항의 크기에 반비례합니다
그리고 서두에 (+)와 (-)의 전원으로
회로를 구성하면 전위차가 발생하여
전류가 흐른다고 했었는데요
이 전위차가 크면 클수록
전류의 세기가 더 커집니다
전위차를 회로에서 전압이라고도
표현하는데요
이러한 전류와 저항, 전압의 관계를
나타낸 법칙이 옴의 법칙입니다
$$I=\frac{V}{R}$$
그 유명한 $V=IR$ 공식이죠
전압,전류,저항이 언급되는 문제면
옴의법칙을 떠올리면 됩니다
* 저항과 콘덴서 정전용량의 관계
$$R=ρ\frac{l}{S}$$
$$C=ε\frac{S}{l}$$
(판 간격을 보통 d로쓰지만
ℓ로 써도 무방합니다)
R과 C를 곱해보면
$$RC=ρ\frac{l}{S}×ε\frac{S}{l}=ρε$$
$$RC=ρε$$
가 됩니다
이 식 자체로도 시험에 나오고
누설전류나 도체별 저항을 구할 때
이 식이 이용되므로
필수적으로 알아야 합니다
문제에 저항(R)과 정전용량(C)가
모두 언급되면 이 식을 적용하시면 됩니다
* 누설전류
말 그대로 누설되는 전류로서
새어나가는 전류, 흐르면 안되는 데
흘러나가는 전류를 말합니다
누설전류라는 말이 나오면
옴의 법칙과 $RC=ρε$ 식을
이용해 구할 수 있습니다
$RC=ρε$에서
$R=\frac{ρε}{C}$ 이고
$V=IR$에서
$I=\frac{V}{R}$ 이므로
$R$ 대신 $\frac{ρε}{C}$를 대입하여 정리하면
누설전류는
$$I=\frac{CV}{ρε}$$
입니다
* 도체별 저항
$R=\frac{ρε}{C}$ 이므로
3장에서 계산한 도체별 정전용량(C)을
이용해 도체별 저항값을 계산할 수 있습니다
여기서 $ρ=\frac{1}{k}$ 임을 활용하여
$ρ$가 들어간 식과 $k$가 들어간식
모두 알아두면 좋습니다
1. 구도체
구의 정전용량은
$$C=4πεa$$
이므로
$R=\frac{ρε}{C}=\frac{ρε}{4πεa}=\frac{ρ}{4πa}=\frac{1}{4πak}$
$$R=\frac{ρ}{4πa}=\frac{1}{4πak}$$
( $ρ=\frac{1}{k}$ )
입니다
1-1 두 구상(두 개의 구 형상)
문제에서 두개의 구 형상
또는 두 구상이라는 말이 나올 때
구가 두개라고 하니 동심구로
잘못 생각할 수 있습니다
동심구라고 하지 않고 두 구상 또는 두 개의 구 형상
이라는 말이 나올 때는
말 그대로 구가 2개라는 의미이므로
구 2개의 저항을 따로 구한 뒤
더해주시면 됩니다
반지름이 각각 a와 b인
두 개의 구형상 도체간의 저항은
$R=\frac{1}{4πak}+\frac{1}{4πbk}=\frac{1}{4πk} (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$
가 됩니다
2. 반구
말 그대로
구의 반만 있는 형태입니다
반구형태의 정전용량은
구도체의 절반입니다
$$C=2πεa$$
따라서 반구형 도체의 저항은
$$R=\frac{ρ}{2πa}=\frac{1}{2πak}$$
입니다
3. 동심구
동심구는 구 안에 작은 구가 있는 형태로
위의 '두 구상' 또는 '두개의 구형상' 과는
다른 형태입니다
동심구의 정전용량은
$$C=\frac{4πε}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}=\frac{4πεab}{b-a}$$
이므로
$R=\frac{ρε}{C}=\frac{ρε}{\frac{4πε}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}}=\frac{ρ}{4π} (\frac{1}{a}-\frac{1}{b})=\frac{1}{4πk} (\frac{1}{a}-\frac{1}{b})$
$$R=\frac{ρ}{4π} (\frac{1}{a}-\frac{1}{b})=\frac{1}{4πk} (\frac{1}{a}-\frac{1}{b})$$
입니다
앞의 두 구상(두 개의 구형상)의 공식과
부호만 조금 다르기 때문에 유의해서 구분합시다
각각의 도체별 저항을
외워도 되지만
도체별 정전용량 C 값을 알고 있다면
$RC=ρε$ 식을 이용해
풀어내도 무방합니다
문제 풀어보겠습니다!
1
2
3
4
5
6
7
8
1
① $V=IR$에서 전위차(전압)가 전류에 비례함을
알수 있습니다
② 저항의 단위는 옴[Ω]입니다
③ $R=ρ\frac{l}{S}$에서 길이 $l$에
비례함을 알 수 있습니다
(반비례가 틀렸습니다)
④ 저항률(ρ)의 역수를 도전율(전도율)이라 하고
σ 또는 k로 표시합니다
답은 ③번입니다
2
도체의 접지저항을 물었는데
그냥 저항이라고 보면 됩니다
저항을 구하라고 했는데
반구형에 대해서 물었으므로
반구형 도체의 저항 공식을
떠올려도 되고
정전용량을 이용해 계산해도 됩니다
반구형 도체의 정전용량이
$C=2πεa$ 이므로
$R=\frac{ρε}{C}$ 에 대입하면
$$R=\frac{ρ}{2πa}=\frac{1}{2πak}$$
답은 ①번입니다
3
저항과 길이가 나왔으므로
저항의 공식을 떠올리면 됩니다
$$R=ρ\frac{l}{S}$$
다만 얼핏 잘못풀면 틀릴 수 있는 문제입니다
$R=ρ\frac{l}{S}$
에서 길이가 2배가 되었으니
저항이 2배가 된다고 생각할 수 있지만
체적이 불변이라는 말에 주목해야합니다
체적=단면적×길이
가 되기 때문에
길이가 2배가 되었는데
체적이 그대로이려면
단면적이 1/2배가 되어야 합니다
$R=ρ\frac{l}{S}$ 에서
$l$ 대신 $2l$, $S$대신 $\frac{1}{2} S$를
대입하면
$4×ρ\frac{l}{S}$이 됩니다
즉 원래의 4배가 됩니다
답은 ②번입니다
4
저항을 물었는데
두 개의 구 형상이라고 했으므로
두 구상에 대한 저항을 공식을 외워서
답을 체크해도 되고
구도체 2개의 저항을
직접 계산하셔도 됩니다
두개의 구라고 해서
동심구를 생각하기 쉬운 문제지만
이건 동심구가 아니고
각각 떨어진 두개의 구를 이야기합니다
r ≫ a,b 라는말은 두 구가 서로
겹치지 않고 독립적으로
떨어져 있다는 뜻입니다
각각 독립적으로 떨어져있는
두개의 구도체에 대한
저항을 구해서 더해주면 됩니다
구도체의 정전용량은
$$C=4πεa$$
이므로
$R=\frac{ρε}{C}=\frac{ρε}{4πεa}=\frac{ρ}{4πa}=\frac{1}{4πak}$
반지름이 각각 a와 b이므로
각 구도체의 저항은
$$R=\frac{1}{4πak}$$
$$R=\frac{1}{4πbk}$$
두 저항을 더해주면 답이 됩니다
$R=\frac{1}{4πak}+\frac{1}{4πbk}=\frac{1}{4πk} (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$
답은 ③번입니다
5
누설전류 공식을 외워서
답을 바로 체크하셔도 되고
$RC=ρε$ 식과 $V=IR$을 이용해
계산하셔도 됩니다
$RC=ρε$에서
$R=\frac{ρε}{C}$ 이고
$V=IR$에서
$I=\frac{V}{R}$ 이므로
R 대신 $\frac{ρε}{C}$를 대입하여 정리하면
누설전류는
$$I=\frac{CV}{ρε}$$
입니다
답은 ③번입니다
6
저항을 구하라고 했는데
반구형에 대해서 물었으므로
반구형 도체의 저항 공식을
떠올려도 되고
정전용량을 이용해 계산해도 됩니다
반구형 도체의 정전용량이
$C=2πεa$ 이므로
$R=\frac{ρε}{C}$ 에 대입하면
$$R=\frac{ρ}{2πa}=\frac{1}{2πak}$$
답은 ②번입니다
7
전압, 전류, 저항이라는 말이 나오니
옴의 법칙 $V=IR$을 떠올리면 됩니다
R값이 20% 감소, 즉 원래값의 80%가 되어도
V값이 그대로가 되려면
I 값이 $\frac{1}{0.8}$배가 되어야
$\frac{1}{0.8} I ×(0.8)R$ 로
0.8끼리 약분이 되어
V값이 그대로 IR이 됩니다
$$\frac{1}{0.8}=1.25$$
이므로 1.25배가 됩니다
(주의할 것은 얼핏 생각하기에
R값이 20% 줄었다고해서
I값이 20%가 늘어난다고 생각할 수 있는데
$(1.2)I×(0.8)R = 0.96 IR$이 되므로
원래의 V값과 같지 않습니다
(원래의 V값은 $IR$이 되어야하죠)
답은 ③번입니다
8
저항(R)과 정전용량(C)이
모두 언급되는 문제라면
저항과 정전용량의 관계식을 떠올리면 됩니다
저항과 정전용량의 관계는
$$RC=ρε$$
입니다
답은 ③번입니다
< 요약 >
6장 첫번째 포스팅 마무리하겠습니다
전기 파트의 끝이 보이는데요
조금 더 힘내서 잘 정리합시다!
6장 두번째 포스팅도 얼른 올릴게요
감사합니다!
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