[Lv1] 3장. 도체계 ② 합성정전용량과 정전에너지(콘덴서에 축적되는 에너지)

안녕하세요!

도체계 2번째 포스팅입니다

매일 올리려고 하는데 쉽지 않네요

혹시 보면서 공부하시는 분들 밀리지 않게

열심히 해보겠습니다!!

3장은 이번에 마무리가 될 것 같네요

오늘 다룰 내용은 합성정전용량과

콘덴서에 저장되는 에너지,

정전에너지라고 불리는 개념입니다

먼저 합성정전용량에 대해 알아볼게요

앞에서 여러가지 도체의 정전용량을 구해봤죠

각각의 정전용량을 가진 도체들을 

직렬로 또는 병렬로 연결했을 때의

전체 정전용량은 어떻게 될지 알아보겠습니다

이 내용은 이것 자체로 중요하다기보다는

4장의 유전체삽입 부분에서 활용하기 위해

다루는 것이므로 간단히 공식을 암기하고 

넘어가는 수준이면 충분합니다

자세한건 4장에서 다룰 예정입니다!

합성정전용량을 다룰때는 평행판콘덴서를 

가지고 이야기합니다

(콘덴서는 전하의 축적을 활용하기 위한 목적으로 

만들어진 전기 소자를 말합니다

 평행판 콘덴서는

 판 모양의 두 도체를 평행하게 두면 두 도체에

전하가 모이도록 만든 거였죠)

이러한 콘덴서 여러 개를 연결했을 때 

전하를 축적하는 정전용량은 어떻게 될까요?

1. 콘덴서의 직렬연결

$$C=\frac{1}{\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}}=\frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$$

2. 콘덴서의 병렬연결

$$C=C_1+C_2$$

회로이론을 알고 계신분이라면

저항의 직렬연결, 병렬연결과

콘덴서의 직렬연결, 병렬연결이 

공식이 서로 반대임을 알아채셨을 것입니다

저항의 직렬연결 = 콘덴서의 병렬연결

저항의 병렬연결 = 콘덴서의 직렬연결

이라고 생각하면 기억하기 수월하실 거예요

아직 회로이론 공부를 안하셨더라도

저 공식 두개를 기억하시면 됩니다

다음은 정전에너지에 대한 내용입니다

3장에 와서 등장한 개념이 '전하의 축적' 이었죠

여러 도체가 상호작용하며 전하가 모이는 현상이 일어나면서

이렇게 모인 전하들을 가지고 전기적인 일을 수행하는데에 

활용할 수 있게 됩니다

즉, 

전하가 축적되면서

무언가 일을 해줄수 있는 에너지가 축적되는 셈이 된거죠

이렇게 콘덴서에 축적되는 에너지를 

정전에너지(W)라고도 하는데

이것을 계산하는 공식을 보겠습니다

$$W=\frac{1}{2}QV=\frac{1}{2}CV^2=\frac{Q^2}{2C} [J]$$

($Q=CV$ , $C=\frac{Q}{V}$를 활용하면 

서로 같은 식임을 알 수 있습니다)

에너지의 단위는 [J]을 사용합니다

(줄이라고 읽습니다)

C,Q,V 중 1개 또는 2개가 주어졌는데 

콘덴서에 축적되는 에너지와 같이

"에너지" 라는말이 나오면

위의 세 식 중 주어진 값이 있는 식을 활용하면 됩니다

Q와 V가 주어졌으면 $\frac{1}{2}QV$

C와 V가 주어졌으면 $\frac{1}{2}CV^2$ 

이런식이죠

Q만 줄때도 있는데 이때는 C를 안주고

앞에서 배운 정전용량 공식을 이용해

C를 구한 뒤에 $\frac{Q^2}{2C}$을

적용해야 할 때도 있습니다

(* 바로 전 포스팅에서 C,Q,V중 2개를 줬는데

Q=CV 식을 쓰는 경우는 '에너지'라는 말이 없고

C,Q,V 중 나머지 하나를 구할 때 

쓰는 식이라고 했었습니다 헷갈리면 안돼요!!ㅠ)

여기서 위의 세 가지 모양의 공식에서

평행판 콘덴서의 정전용량 공식인

$C=\frac{ε_0 S}{d}$ 를 C자리에 대입해서 정리하면

이러한 공식을 얻을 수 있습니다

$$w=\frac{1}{2}ε_0 E^2=\frac{1}{2}DE=\frac{D^2}{2ε_0}  [J/m^3]$$

D는 전속밀도라는 건데

전기력선이 얼마나 촘촘한지를 나타내는 물리량으로

단위는 $[C/m^2]$ 입니다

D와 E사이에 $D=ε_0 E$ 라는 관계가 있는데

이 식을 이용해 세 식이 같음을 알 수 있습니다

공식의 단위가 $[J]$이 아니고 $[J/m^3]$ 입니다

단위체적당 정전에너지(w)라는 의미입니다

에너지를 물어보는 문제에서

E, D 중에 1개의 값이 주어지면

바로 위의 세 공식 중 주어진 값이 있는 식을 

활용하면 됩니다

( 아니면 '단위체적당 에너지'라는 말이 나와도

이 식을 사용할 근거가 됩니다 )

E가 주어졌으면 $\frac{1}{2}ε_0 E^2$ 

이런식입니다

정리하면

정전에너지 혹은 축적되는 에너지를 물을 때

① C,Q,V 중 1개 또는 2개가 주어졌을 때는

$$W=\frac{1}{2}QV=\frac{1}{2}CV^2=\frac{Q^2}{2C} [J]$$

② E, D 중에 1개의 값이 주어졌을 때

(단위체적당 이라는 말이 있을 때)

$$w=\frac{1}{2}ε_0 E^2=\frac{1}{2}DE=\frac{D^2}{2ε_0}  [J/m^3]$$

를 활용합니다!

연습문제 보겠습니다!

1

2

3

4

1.

콘덴서에 축적되는 에너지를 물었는데

C와 V가 주어졌으니

$$W=\frac{1}{2}CV^2[J]$$

를 활용하면 됩니다!

$$\frac{1}{2}×5000×10^{-6}×60^2= 9 [J]$$

답은 ②번입니다

2.

콘덴서의 직렬연결에서 합성정전용량은

$$C=\frac{1}{\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}}=\frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$$

입니다

단순하게 각 콘덴서의 정전용량을 합하는게 아닙니다

각 정전용량을 합하는거는 병렬연결이었죠!

나머지는 설명은 못했지만 맞는말입니다

회독 돌리면서 차차 알아가도록 합시다

우선 답 골라낼 수 있는게 중요한 거니까요!

답은 ②번입니다

3.

에너지를 물었는데

단위체적이라는 말이 나오기도 했고

ε과 E가 주어졌으니

$$w=\frac{1}{2}ε_0 E^2$$

를 활용하면 됩니다!

답은 ③번입니다

4.

정전에너지를 물었는데

Q가 주어졌습니다

Q가 들어간 식을 활용하려면

$$W=\frac{1}{2}QV=\frac{1}{2}CV^2=\frac{Q^2}{2C} [J]$$

이 식을 활용해야 합니다

Q가 있으니 C나 V만 있으면 되는데

V도 없고 C도 없습니다

V나 C를 직접 구해야된다는 것입니다

여기서 문제에 주어진 것들을 보면

면적과 간격이 주어져있네요

면적 S와 간격 d를 이용해

 V는 구하는 공식은 없지만

C는 구할 수 있는 공식이 있습니다

평행판콘덴서라는 말이 있기 때문이죠

평행판콘덴서의 정전용량 C를 구하는 식은

$$C=\frac{ε_0 S}{d}$$ 

입니다

이제 Q도 있고 C도 구했으니

위 식 중에 Q와 C가 있는

$$\frac{Q^2}{2C} [J]$$

를 활용하면 되겠네요

C대신에 $\frac{ε_0 S}{d}$를 대입하고 정리하면

답은 ②번입니다

< 정리 >

3장은 이것으로 마무리하겠습니다!

더 많은 내용들이 있지만 

모든 내용을 처음부터 다루는것은

오히려 혼란만 준다고 생각하기 때문에

핵심이 되는 부분을 먼저 다루고

회독을 늘려가면서 차차 살을 붙여나가는 식으루

포스팅 할 예정입니다!

그러려면 얼른 Lv1 짜리 포스팅을 열심히 달려서

마쳐야 다음 레벨 포스팅이 가능하겠네요

열심히 달려보겠습니다아!!

4장으로 다시 찾아뵙겠습니다

감사합니다~!!