[Lv1] 2장. 정전계 ④ 전기쌍극자와 프와송 방정식, 라플라스 방정식

안녕하세요!

전자기학 시작한지 4번째만에 정전계 마지막 포스팅입니다

오늘 살펴볼 내용은 '전기쌍극자' 입니다

과년도에 매우매우 자주 나오는 부분인데 

식 2개만 잘 암기하면 거저먹는 부분이기도 하니

잘 알아둬야겠습니다!

하나의 자석에 N극과 S극이 쌍으로 존재하듯이

+Q[C]의 전하와 -Q[C]의 전하가 

매우 짧은 거리 δ[m]만큼 떨어져있을 떄

이를 '전기쌍극자' 라는 형태로 해석할수 있습니다

두 전하를 한 뭉탱이로 보고 해석하겠다는 뜻이죠

이 때 Q와 δ를 곱해준 값을 쌍극자모멘트(M)라고 합니다

이 전기쌍극자의 전계의 세기와 전위를 구하는 공식이 있습니다

이 두 공식을 암기하고 있으면 대부분의 문제가 풀립니다

(사실 공식을 몰라도 전기쌍극자의 전계와 전위의 특징을

암기하면 대부분 풀리지만 

일부 계산하는 문제가 나오는 경우도 있기 때문에

공식을 암기합시다)

전계의 세기(E)부터 살펴봅시다

$$E=\frac{M}{4πε_0 r^3}\sqrt{1+3cos^2 θ}$$

(여기서 M=Qδ 입니다)

공식에서 아래와 같은 2가지 사실을 

알 수 있습니다

(1) 전기쌍극자의 전계는 

쌍극자모멘트 값에 비례하고 

$r^3$에 반비례한다

(2) θ = 0 에서 최대값을 가지고

 θ = 90도 (또는 θ = $\frac{π}{2}$) 일때 

최소값을 가진다 

(2)번 내용은 cos 함수의 모양을 알면 이해할 수 있습니다

(cosθ는 θ가 0일 때 최대값이 되고 θ가 90도가 될 때 최소값이 됩니다)

cos함수에 대해 잘 모르더라도 충분히 암기할 수 있습니다!

(0도에서 최대, 90도에서 최소!)

 

다음은 전기쌍극자의 전위(V) 입니다

$$V=\frac{M}{4πε_0 r^2}cosθ$$

전위 역시 공식에서

다음과 같은 2가지 사실을 알 수 있습니다

(1) 전기쌍극자의 전위는 

쌍극자모멘트 값에 비례하고

$r^2$에 반비례한다

(2) θ = 0 에서 최대값을 가지고

 θ = 90도 (또는 θ = $\frac{π}{2}$) 일때 

최소값을 가진다

 

전위 또한 cos을 포함하므로 최대 최소가 동일하게

0에서 최대, 90도에서 최소가 됩니다

(전계와 똑같네요! 쌍극자모멘트값에 비례하는것도 그렇구요)

대신 $r^3$에 반비례하는 전계와 달리

$r^2$에 반비례하는 게 차이점이네요

이렇게 정리할 수도 있겠네요

끝입니다!

문제에서 '전기쌍극자' 라는 말이 나오면

전기쌍극자의 전계와 전위의 특성을

 떠올리면 대부분의 문제가 풀립니다

예제 볼까요

'전기쌍극자' 라는 말이 나왔고

'전계의 크기'가 언제 최대가 되냐고 물었네요

전기쌍극자의 전계에 대한 2가지 사실을 떠올려보면

전계의 크기가 0도에서 최대가 된다고 했었죠

따라서 답이 ①번임을 알 수 있습니다

지금까지 전기쌍극자에 대한 설명이었습니다

마지막으로 공식 두개를 보고 

2장을 마무리하려고 합니다

첫번째로는 프와송의 방정식입니다

(푸아송, 프아송 등으로도 발음하고

시험에서 Poisson의 방정식이라고 

 나오기도 합니다)

회독을 거듭하면서 계속 다룰 내용이고

수학적인 내용이라 당장 계산적인 부분을 다루진 않겠지만

공식의 모양이라도 알고 넘어가면 좋을 것 같습니다!

공식을 보면

$$∇^2 V = - \frac{ρ_v}{ε_0}$$

입니다

∇는 편미분을 나타내는 연산자이고

제곱은 두 번 편미분 했다고 생각하면 됩니다

즉 전위 V를 두번 미분한 값이 $- \frac{ρ_v}{ε_0}$ 라고

우선 이해하면 됩니다

$ρ_v$는 $ρ$라고도 표현하고

'체적전하밀도' 라고 합니다

(전계 포스팅에서 무한직선에 대한 선전하밀도와

무한평면에 대한 면전하밀도를 살펴봤었죠

이번엔 입체에 대한 체적전하밀도를 다루는 것입니다)

$ε_0$는 유전율이고 $ε$로 나오기도 합니다

전위를 알면 체적전하밀도를 구할 수 있다는 의미의

방정식입니다

우선은 저 식의 모양을 잘 알아둡시다

공식이 틀린 것을 찾으라는 문제에서

주로 답이 되는 부분이 프와송의 방정식이기 때문입니다

(부호가 (-)이고 ρ가 분자, ε이 분모입니다! )

예제 풀어봅시다!!

포아송의 방정식의 우변에 

마이너스(-) 부호가 빠져있네요

이런식으로 포아송의 방정식을 

틀리게 주는 경우가 꽤 있습니다

답은 ②번입니다

계속해서 살펴볼 방정식은 

라플라스 방정식입니다

(Laplace의 방정식이라고도 합니다)

이거는 더 쉽습니다

포아송의 방정식은 

체적전하밀도가 있을 때의 얘기구요

만약 전하가 없다면? 즉 체적전하밀도가 0이 된다면

$∇^2 V = - \frac{ρ_v}{ε_0}$에서 

$ρ_v$가 0이면 전체값도 0이 되겠네요

즉

$$∇^2 V =0$$

이게 라플라스 방정식입니다

전하가 있을 때는 포아송의 방정식

전하가 없을 때는 라플라스의 방정식이

성립합니다

라플라스 방정식에서 하나 암기할 사항이 있는데요

'라플라스 방정식은 선형이다' 라는 말입니다

라플라스 방정식이 비선형이다 라고 하면 

틀린 진술이 되는거예요

선형 비선형이 뭔지를 다루기엔 

수학적으로 복잡한 내용이고

자주 나오지 않는 개념이므로 

라플라스 방정식은 선형 방정식이라고만 

암기하는걸 추천드립니다

내용은 다 끝났습니다~

연습 문제 풀어봅시다!! 

1.

2.

                                            

 3.

4.

5.

6.

1.

전기쌍극자 문제가 나왔으므로 

전계와 전위에 대한 내용들을 떠올리면 됩니다

① 반경방향의 전계는 다루지 않았지만 

전계는 $r^3$에 반비례하는 것은 동일합니다

(제곱에 반비례한다고 했으므로 틀렸습니다)

② 전체 전계의 세기는 

거리 3승에 반비례하는 거 맞습니다

③ 전위는 거리의 '제곱'에 반비례하죠!

(제곱이 빠져서 틀렸습니다)

④ 전위는 거리의 '제곱, 즉 2승에 반비례합니다

(3승이라고 해서 틀렸습니다)

답은 ②번입니다

2.

②번의 Poisson 방정식을 보면

마이너스(-) 부호도 빠져있고

ρ와 ε 분모분자 자리도 바뀌어있어서 

틀린 식입니다

나머지 식은 다루진 않았지만 모두 맞는 식입니다

④번의 라플라스 방정식은 맞다는 것 알겠죠?

답은 ②번입니다

3.

전기쌍극자 문제가 나왔으므로 

전계와 전위에 대한 내용들을 떠올리면 됩니다

θ에 대한 이야기가 나왔는데

0에서 최대, 90도($\frac{π}{2}$)에서 최소라고 했었죠

답은 ②번입니다

4.

다른 보기는 다루진 않았지만 맞는 보기이고

④번에서 라플라스 방정식은 

비선형이라고 한 게 틀렸습니다

라플라스 방정식은 선형방정식이라고 

알아두자고 했었죠

답은 ④번입니다

5.

전기쌍극자 문제가 나왔으므로 

전계와 전위에 대한 내용들을 떠올리면 됩니다

① 전기쌍극자의 전계의 세기는 

거리 세제곱에 반비례하는거 맞습니다

② 전기쌍극자의 전계의 세기는 매질에 따라 달라집니다

ε값이 매질에 따라 달라지기 때문입니다

이것은 다루지는 않았던 내용이지만 맞는 내용입니다

③ 전기쌍극자의 전계 공식이

$$E=\frac{M}{4πε_0 r^3}\sqrt{1+3cos^2 θ}$$

여기서 M이 쌍극자모멘트인데 

분자에 있으므로 비례하는 것 맞습니다

④ 쌍극자의 전위는 거리에 반비례하는 것이 아니라

거리의 제곱에 반비례하므로 틀렸습니다

답은 ④번입니다

6.

전기쌍극자에서 전위를 묻는 문제네요

공식을 암기하고 있어야하는 문제입니다

$Q$와 $l$을 곱한값은 쌍극자모멘트 M값입니다

$$V=\frac{M}{4πε_0 r^2}cosθ$$

M 대신 $200πε_0×10^3$을 대입하고

$θ=\frac{π}{3}$, r=1을 대입하면 됩니다

계산하면 답은 ③번이 나옵니다

< 정리 >

드디어 2장 정전계가 끝났습니다

사실 모든 내용을 다룬 것은 아닙니다

큰 뼈대가 되는 내용 위주로 다루고 있구요

div나 rot와 같은 수학적인 내용은 가급적 첫 회독때는 배제하고 있습니다

미적분과 같은 수학적인 개념없이 접근할 수 있는 이론들을

먼저 접근하고 나중에 수학적인 내용들을 추가로 익히는 것을 통해

전자기학에 대한 막연한 두려움을 없애고

자신감을 가지는 게 중요하다고 생각하거든요

처음부터 모든 내용을 다루는 것보다

큰 뼈대가 되는 내용을 먼저 다루고 회독수를 늘리면서 

다루지 않았던 내용들로 살을 붙이는 식으로 하면

뼈대가 되는 내용들은 반복학습하는 효과를 볼 수 있고

중요한 것과 중요하지 않은 것을 구분지어 공부하는 것을 통해

이론적 체계를 잡기 더 수월하다고 생각합니다

또한 문제를 풀 때 모든 보기 내용을 다 알고 풀면 좋지만

그만큼 많은 이론내용을 소화해야하기 때문에

공부 분량이 늘어나므로 시간도 오래걸리고

기억하기도 어렵다고 생각해서

답을 고를수 있을 정도의 최소한의 보기에 대한 내용만

먼저 습득하고 추후 회독때 다른 보기 내용들을 학습하는 식으로 

접근하려고 합니다

 과년도 문제를 풀 수 있을만큼의 이론을 먼저 익히고

더 깊은 내용은 나중에 반복해서 볼때 살펴보자는 마인드입니다!

(모든 예제와 연습문제는 최근년도 기출문제입니다)

포스팅 보면서 공부하는분 계시다면 2장 공부하느라 고생하셨구요

2장이 문제비중도 큰편이고 양이 많은 편인것 같아요

3장부터는 조금 빠르게 볼수도 있을 것 같습니다

다음 포스팅부터는 3장 진공중의 도체계를 살펴보려고 합니다

역시 자주 나오고 중요한 내용 위주로 살펴보겠습니다

힘냅시다 화이팅!