[Lv1] 3장. 도체계 ① 정전용량

안녕하세요!

드디어 3장으로 넘어왔네요

3장의 제목은 도체계입니다

2장에서는 각각의 도체가 혼자 있을 때

그 도체 종류별로 전계와 전위를 공부했었는데

3장에서는 여러가지 도체가 각각의 전계와 전위를 가지면서

도체 간에 서로 상호작용을 하는 것을 다루게 됩니다

즉 '도체계' 라는 말은 여러가지 도체가 존재하는 공간으로

이해하시면 될 것 같아요~

둘 이상의 도체가 존재할 때 발생하는 상호작용 중

대표적인 것이 '전하의 축적'이 있습니다

도체 사이에 전위차가 발생할 때

각 도체에 전하가 모이는 현상이 발생하는데요

이 때 각 도체가 전하를 저장하고 축적할 수 있는 능력을 

정전용량 또는 커패시턴스(Capacitance)라고 합니다

(기호로 C 라고 쓰고, 단위는 [F]입니다. 패럿이라고 읽습니다)

쉽게 말해 전하를 담을 수 있는 그릇의 크기라고 생각하시면 됩니다

정전용량이 크다면 당연히 축적되는 전하량이 크겠죠?

그리고 위에서 전위차가 발생할 때 

전하가 축적된다고 이야기 했었는데요

이 전위차가 클수록 모이는 전하량도 많아집니다

이러한 관계로부터 

정전용량과 전하량, 전위차에 대한 관계식이 나오는데요

$$Q=CV$$ 

입니다

정전용량에 대해 정리하면 

$$C=\frac{Q}{V}$$

이 됩니다

(Q는 축적되는 전하량, C는 정전용량, V는 전위차)

회로이론에서 전위차를 나타내는 것이 전압인데요

전압이라는 말에서 뭔가 압력을 가하는 느낌을 연상할 수 있습니다

위의 식을 굳이 비유하자면

밥그릇이 크면 당연히 담을 수 있는 밥의 양이 많을 것입니다

밥그릇 크기가 같아도 밥을 세게 꾹꾹 눌러담으면 더많은 밥이 담길 것입니다

$Q=CV$에서 C가 크면 담을수 있는 Q가 많을 것이고

같은 크기의 C라도 V가 크면 

전하를 더많이 꾹꾹 눌러담을 수 있다고 

생각하시면 됩니다

정전용량 역시 도체별로 다릅니다

각각 암기해서 써먹을 수 있어야합니다

1. 구도체

단순 구 모양의 도체입니다

구도체라고 나오기도 하고

도체구라고 나오기도 합니다

구도체 표면의 전위가 

$$V=\frac{Q}{4πε_0 a}$$

인 거 기억하시죠?

$C=\frac{Q}{V}$에 위의 전위식을 대입하면

$C=4πε_0 a$

가 됩니다!

a는 구의 반지름으로 단위는 [m]입니다

2. 동심구

구 안에 작은 구가 있는 형태입니다

동심원통과는 다르고

구도체와도 다르니

 단어에서 혼동하지 않도록 합시다

정전용량 구할때 가장 많이 나오는 모양이

동심구 입니다

$$C=\frac{4πε_0}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}=\frac{4πε_0 ab}{b-a}$$   

여기서 b>a 입니다

두 식 중에 편한 걸 사용하면 되고

공식 묻는 문제로 두 가지 형태가 모두 

나오니 둘다 알아둡시다!

즉 b가 바깥쪽 큰구의 반지름이고

a가 안쪽 작은구의 반지름입니다

3. 동심원통(동축케이블)

동축원통이라고도 합니다

원기둥인데 중앙이 뚫려있는 모양으로

두루마리 휴지를 떠올리시면 됩니다

$$C=\frac{2πε_0 l}{ln\frac{b}{a}}[F]$$

또는

$$C=\frac{2πε_0}{ln\frac{b}{a}}[F/m]$$

입니다

(b>a 입니다)

위의 식은 도체의 길이 $l$이 포함된 식으로 단위가 [F]입니다

전체 동축원통의 정전용량을 구하는 식이죠

아래 식은 도체의 길이 $l$을 나눠준 식으로 단위가 [F/m] 입니다

동축원통의 단위길이당 정전용량을 구하는 식입니다

문제에서 [F] 단위로 물으면 위의식을

[F/m] 단위로 묻거나 '단위길이당 정전용량' 이라고 물으면

아래의 식을 사용하면 됩니다

b 자리에 즉 분자에 큰 반지름이 들어가고

a 자리 즉 분모에 작은 반지름이 들어간다는것을

기억합시다!

4. 평행도선

$$C=\frac{πε_0 l}{ln\frac{D}{r}}[F]$$

또는

$$C=\frac{πε_0}{ln\frac{D}{r}}[F/m]$$

입니다

동축케이블과 마찬가지로 생각하시면 됩니다

문제에서 [F] 단위로 물으면 위의식을

[F/m] 단위로 묻거나 '단위길이당 정전용량' 이라고 물으면

아래의 식을 사용하면 됩니다

이 때 D는 두 평행도선 사이의 거리

r은 도선의 반지름, $l$은 도선의 길이를 나타냅니다

(단위는 모두 [m]입니다)

5. 평행판콘덴서

$$C=\frac{ε_0 S}{d}$$

문제에 나올때는 두 극판, 금속판이라고도 합니다

S는 판의 면적[$m^2$], d는 판 사이 거리[m]입니다

평행판 콘덴서의 정전용량을 늘리기 위해서는

두 사이 거리가 작을수록

판의 면적이 넓을수록

전하가 더 잘 모일수 있다는 것을

알 수 있습니다

연습문제 풀어봅시다~!

문제가 좀 많네요

적어도 무슨 공식을 쓸지만 떠올릴 수 있으면

좋을 것 같아요!

1

2

3

4

5

6

7

1. 

정전용량을 물었는데 동심구형이라고 했으니

$$C=\frac{4πε_0}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}=\frac{4πε_0 ab}{b-a}$$ 

이 식을 떠올려야겠네요

내외반지름은 각각 공식에서의 a,b를 말합니다

(연습장 찍다가 다른 낙서도 같이 찍혔네요

3이라고 적힌건 신경쓰지 마세용)

답은 ①번입니다

2.

정전용량 C를 구하는데 전하량 Q와 전위 V가 주어졌으면

$$C=\frac{Q}{V}$$

를 활용하면 됩니다

문제를 봤는데 무슨 식을 써야될지 모르겠으면

문제에서 주어진걸 전부 기호로 표현해보면

공식을 떠올리기가 한결 쉽습니다

주어진걸 기호로 다 써보니 C,Q,V이고 

이걸 활용한 식은 $C=\frac{Q}{V}$가 떠오르네요!

문제를 봤는데 C,Q,V중 두 개가 주어지고

나머지 하나를 묻는다면

$$C=\frac{Q}{V}$$

를 쓰면 됩니다

(나중에 C,Q,V가 나오는 식이 더있는데

그건 '에너지'라는 말이 추가로 나올때만 쓰는식이에요)

50[μC]에서 10[V]를 나누면 5[μF]임을 알 수 있네요

답은 ③번입니다

3.

이번에도 정전용량 C를 묻는데

S와 d가 주어졌을 때 떠오르는 식은

평행판 콘덴서입니다

$$C=\frac{ε_0 S}{d}$$

공식 순서만 좀 바뀌어있네요

답은 ①번입니다

4.

동심구도체의 정전용량 묻는 문제네요

답은 ③번입니다

5.

동축원통의 정전용량 공식중

[F/m] 단위로 된 공식은

$$C=\frac{2πε_0}{ln\frac{b}{a}}[F/m]$$

입니다

b 자리에 큰 반지름이 들어가고 

a 자리에 작은 반지름이 들어갑니다

그림에서 b가 더 크기때문에

외웠던 공식과 똑같은 모양을 답으로 해줘도 되지만

만약 그림에서 a가 더 크다면 a가 분자로 들어가야겠죠!

답은 ③번입니다

6.

구도체라고 나오진 않았지만

도체구라는 단어가 보이네요

말장난같지만 동심구와 헷갈리면 안됩니다ㅎㅎ

$C=4πε_0 a$의 a자리에 

반지름을 넣어주시면 됩니다

지름이 6cm니 3cm를 대입하면 됩니다

m단위로 바꿔야 하니 0.03을 대입해야겠네요

마지막엔 [pF] 단위로 물었기 때문에

$10^{12}$을 곱해주면 답이 나옵니다

답은 ③번입니다

7.

동심구형에 대한 문제가 많이 나오네요

$$C=\frac{4πε_0}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}=\frac{4πε_0 ab}{b-a}$$

1번문제와 같은 방식으로 풀면 됩니다

답은 ②번입니다

< 정리 >

도체계 첫번째 포스팅으로 정전용량에 대해

알아봤습니다

각 도체의 정전용량 공식들 잘 기억해야겠네요

다음 포스팅에서 뵙겠습니다!!