[Lv1] 11장. 인덕턴스 ② 상호인덕턴스와 결합계수, 동축케이블의 인덕턴스

안녕하세요!

11장 두번째 포스팅입니다

상호인덕턴스라는 개념을

보려고 합니다

상호(Mutual)라는 말에서

두 개의 코일 상호 간의

인덕턴스라는 것을

유추해볼 수 있습니다

***

앞선 포스팅에서 봤던 인덕턴스 L값은

자기인덕턴스(Self-Inductance)라고도

합니다

코일에 전류를 흘려줄때 

전류를 흘려준 바로 그 코일에서

 자체적으로 자속이 얼마나 생기는 지를

나타내는 값입니다

이에 비해 상호인덕턴스

(Mutual-Inductance)는

나의 코일이 아닌 다른 코일의

자속이 나의 코일에 영향을 줘서

전류를 흘려주지 않은

나의 코일에 전류가 흐르게 하는

능력을 말합니다

한번 더 정리하면

자기인덕턴스는 자기 코일에

전류를 흘렸을 때 자기 코일에

자속이 얼마나 생기는지를 나타내고

상호인덕턴스는 다른 코일에서

생긴 자속에 의해 자기 코일에서

전류를 얼마나 발생시키는지를

나타냅니다

***

상호인덕턴스 내용은

코일이 2개가 나오므로

그림과 같이 각각의 코일의

 권수(N) 전류(I) 자속(Φ) 등을

숫자첨자로 구분합니다

먼저 상호인덕턴스의

공식 중에 하나를 보려고 합니다

환상솔레노이드와 

무한장솔레노이드 모두

공통적으로

자기인덕턴스 L의 공식은

$$L=\frac{μSN^2}{l}$$

이라고 했었죠

따라서 각각의 코일의 L값은

$$L_1 =\frac{μSN_1 ^2}{l}$$

$$L_2 =\frac{μSN_2 ^2}{l}$$

입니다

( 두 코일에서 μ와 S 그리고 $l$은  

서로 같아서 따로 숫자로 

구분하지 않았습니다 )

상호인덕턴스 M의 공식을

보겠습니다

상호인덕턴스 M값의 공식은

자기인덕턴스 L값의 공식과

 유사합니다

상호인덕턴스 M값은

$$M=\frac{μSN_1 N_2}{l}$$

입니다

앞서 말했듯이 μ와 S는 

두 코일이 같은 경우가 대부분이고

권수 $N_1$과 $N_2$가

서로 다른 경우가 많습니다

$N^2$ 대신 $N_1 N_2$를

대입하는 것으로 

N이 두번 곱해지는것은 같아서

 쉽게 암기할 수 있습니다

***

이 때

위의 $L_1$과 $L_2$를 곱해보면

$$L_1 ×L_2 =\frac{μSN_1 ^2}{l}×\frac{μSN_2 ^2}{l}$$

$$=\frac{μ^2 S^2 N_1 ^2 N_2 ^2}{l^2}$$

  $$=(\frac{μSN_1 N_2}{l})^2=M^2$$

즉 $L_1×L_2 =M^2$이 성립합니다

따라서

$$M=\sqrt{L_1 L_2}$$

 가 됩니다

그런데 실제로 

이론책에서 보면

$$M=k\sqrt{L_1 L_2}$$

라고 나옵니다

따라서 상호인덕턴스 M의 

공식을 위와 같이

k가 들어간 식으로 알고

 적용해야하는데요

이 $k$를 결합계수라고 합니다

결합계수의 의미를 알아보겠습니다

* 결합계수

한쪽 코일에서 만들어진 자속이

반대쪽 코일에 100% 작용하여

전류를 만드는데 모두 사용되면

가장 이상적인 상황인데

실제로는 새어나가는

'누설자속'이 생기기도 하고

여러가지 요인에 의해

한쪽 코일의 자속이

반대쪽 코일의 전류로

온전히 전환되지 

않을수 있습니다

한 코일의 자속이 얼마나

반대쪽 코일의 전류를 만드는데

실질적으로 사용되느냐가

결합계수의 의미입니다

결합계수의 범위는

$0 ≤ k ≤ 1$ 입니다

결합이 전혀 되지않아

한 코일의 자속이

반대쪽 코일의 전류를 

전혀 만들수 없으면 

$k=0$이 되고

한쪽 코일의 자속이

반대쪽 코일의 전류를 만드는데

100% 완전히 사용되면 

$k=1$이 되는 것입니다

결합계수가

0이나 1이 되는 것은

 매우 특별한 상황이고

일반적인 결합에서는

 0과 1사이의 값을 

가지게 됩니다

 $0 < k < 1$

$$M=k\sqrt{L_1 L_2}$$

라는 공식을 잘 알아두고

활용할 수 있어야겠습니다

또한 위의 식을 k로 나타내면

$$k=\frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}$$

라는 것도 알 수 있습니다

전기자기학을 통틀어

'결합계수'라는 말은

상호인덕턴스 부분에서만

등장하므로

문제에서 '결합계수'라는 말이 보이면

위의 k 공식을 무조건 떠올리면 됩니다

***

지난번 포스팅에서

코일의 유기기전력을 구할 때

'시간'이 주어져있으면

$e=-N \frac{dΦ}{dt}=-L \frac{di}{dt}$

둘 중 하나를 생각하라고 했었습니다

이 때 문제에 주어진 인덕턴스가 

자기인덕턴스 L이 아니라

상호인덕턴스 또는 

상호유도계수이면

(상호인덕턴스를

상호유도계수라고도

합니다)

 L 대신

상호인덕턴스(M)을 

대입하면 됩니다

즉 

$$e=-M \frac{di}{dt}$$

이 공식으로 유기기전력을

구할 수 있습니다

***

이번엔

동축케이블의 인덕턴스를

알아보겠습니다

동축케이블은 동심원통 또는

동축원통이라고도 합니다

중앙이 비어있는 원기둥

즉 두루마리 휴지 모양을

생각하면 된다고 했었죠

잠깐 복습해보면

동축케이블의 정전용량(C)은

$C=\frac{2πε}{ln\frac{b}{a}} [F/m]$

이었습니다

동축케이블의 인덕턴스 값은

외부와 내부로 나뉘어집니다

외부 인덕턴스

$$L=\frac{μl}{2π}ln\frac{b}{a} [H]$$

내부 인덕턴스

$$L_i =\frac{μl}{8π}  [H]$$

입니다

( b가 바깥쪽 반지름이고

a가 안쪽 반지름입니다

즉 b>a 입니다 )

만약 

단위 길이당 인덕턴스라고 해서

'단위 길이당' 이라는 말이 있으면

각각의 공식에서 길이($l$)를

 나눠줘야 합니다

단위길이당

외부 인덕턴스

$$L=\frac{μ}{2π}ln\frac{b}{a} [H/m]$$

단위길이당

내부 인덕턴스

$$L_i =\frac{μ}{8π}  [H/m]$$

($l$이 사라졌습니다)

( 단위도 [H]에서 [H/m]로 바뀐 것을

알 수 있습니다 )

문제에서 내부를 묻는지

 외부를 묻는지 잘 구분하시면 되고

따로 언급이 없다면

'외부'를 묻는다고 생각하시면 됩니다

공식을 잘 알고 내부와 외부를

잘 구분하시면 됩니다!

또한 '단위길이당' 이라는 말이

있는지 없는지 보고

길이 $l$을 곱할지 말지를

결정해야 합니다

***

마지막으로

 코일에 저장되는 에너지에 대해

알아보겠습니다

코일에 전류를 흘려주면

자속이 생기게 된다는 말은

전류를 공급받은 코일에서

전류라는 전기에너지가

 자기에너지 형태로

저장된다는 말인데요

그 에너지를 계산하는 식은

$$W=\frac{1}{2}NΦI=\frac{1}{2}LI^2=\frac{(NΦ)^2}{2L} [J]$$

입니다

이중에서

 $$W=\frac{1}{2}LI^2$$

가 가장 많이 쓰이는 공식입니다

해당 공식을

LI=NΦ식을 이용해 변형하여

나머지 식도 유도해낼 수 있습니다

'코일'과 '에너지'가 언급되고

'전류'가 주어지면

 $$W=\frac{1}{2}LI^2$$

이 공식을 사용합니다

최근 과년도에서는 

이 공식을 이용한 계산문제가

드물게 출제되었지만

언제든지 나올수있는 공식이므로

잘 알아둡시다

내용은 여기까지입니다

문제 풀어보겠습니다

***

1

(풀이)

동축케이블의 인덕턴스를

물어보는 문제입니다

동축케이블의 인덕턴스는

외부와 내부를 구분해야한다고

했었습니다

외부 인덕턴스를

물었으므로

$$L=\frac{μ}{2π}ln\frac{b}{a}$$

이 공식에 대입하면 됩니다

( 단위길이당 이라는 말이 있으므로

길이 $l$을 곱하지 않습니다 )

b=20[mm]

a=10[mm]

$μ=μ_0 μ_s=μ_0=4π×10^{-7}$

(따로 언급없으면 $μ_s=1$입니다)

이므로

$L=\frac{4π×10^{-7}}{2π}ln\frac{20}{10}$

$=2×10^{-7}×ln2$

$≒1.39×10^{-7}$

(ln2 부분의 계산은

 계산기를 이용합니다)

답은 ②번입니다

2

(풀이)

결합계수라는 말이 나오면 무조건

 $$M=k\sqrt{L_1 L_2}$$

이 식을 이용합니다

결합계수 k에 대하여

정리하면

$$k=\frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}$$

입니다

답은 ①번입니다

3

(풀이)

동축케이블의 인덕턴스를

묻는 문제입니다

동축케이블은 외부와 내부를

구분해야 되는데 그냥 자기인덕턴스가

 얼만지 물었으면

'외부' 를 묻는거라고 보면 됩니다

$$L=\frac{μ}{2π}ln\frac{b}{a}$$

( 단위길이당 이라는 말이 있으므로

길이 $l$을 곱하지 않습니다 )

이 모양과 가장 가까운 보기를

고르면 됩니다

답은 ①번입니다

4

(풀이)

'유도전압'을 물었네요

유도기전력, 유도전압

유기기전력, 유기전압

모두 같은 말입니다

코일의 유기기전력을 구할 때

'시간'이 주어져있으면

$e=-N \frac{dΦ}{dt}=-L \frac{di}{dt}$

둘 중 하나를 생각하라고 했었습니다

시간과 전류가 주어져있으므로

$-L \frac{di}{dt}$ 공식을 쓰려고 봤더니

문제 끝에 '상호유도계수(M)'가 주어져있네요

L이 아니고 M이 주어져 있으면

그냥 L 대신 M을 대입하면 됩니다

즉

 $$e=-M \frac{di}{dt}$$

입니다

( 공식에서 (-)부호는 

방향을 나타내므로

보기에 (-)가 나오지 않는이상

신경쓰지 않아도 됩니다 )

$dt=0.01$

$di=10×10^3$

( 1[kA]=1000[A] )

$M=0.3×10^{-3}$

(mH 단위를 H 단위로 바꾼것입니다)

  

 $$e=M \frac{di}{dt}$$

$$=0.3×10^{-3}×\frac{10×10^3}{0.01}$$

$$=3×10^2$$

답은 ②번입니다

5

(풀이)

상호인덕턴스를 물었네요

주어진 게 

$S, ℓ, μ_s, N_1, N_2$인데

이걸 보면 떠오르는

상호인덕턴스 공식은

$$M=\frac{μSN_1 N_2}{l}$$

입니다

$S=10×10^{-4}$

$l=20π×10^{-2}$

$μ=μ_0 ×μ_s =4π×10^{-7}×1000$

$N_1 =N_2 =100$

( S는 $[m^2]$ 단위로 바꾸고

$l$은 [m]단위로 바꾸어야합니다 )

대입해보면

$$M=\frac{4π×10^{-7}×1000×(10×10^{-4})×100×100}{20π×10^{-2}}$$

$=0.02[H]=20[mH]$

계산값으로 나온 것은 [H]단위라서

마지막에 [mH] 단위로 변환하려면

$10^3$을 곱해줘야 합니다

즉 20[mH]가 됩니다

단위변환이 익숙지 않은분들은

이번 장 문제들이

꽤 어려울것 같네요

차후에 단위변환도 다루겠지만

다른 문서나 강의를 통해서라도

꼭 이해하고 숙달해야되는 부분입니다

답은 ④번입니다

6

(풀이)

동선의 내부인덕턴스를

물었네요

동축케이블이라는 말이

주어지지는 않았지만

사실 내부인덕턴스 공식은

동축케이블밖에 없으므로

내부인덕턴스라는 말이 보이면

바로 동축케이블 내부인덕턴스 공식을

떠올리면 됩니다

내부 인덕턴스

$$L_i =\frac{μl}{8π}$$

입니다

( 단위길이당 이라는 말이 없으므로

길이 $l$을 곱해주어야 합니다)

지름이 주어졌지만 내부인덕턴스의

공식과는 무관합니다

$μ=μ_0 μ_s=μ_0=4π×10^{-7}$

$l=25$

를 공식에 대입하면 됩니다

$L_i =\frac{μl}{8π}=\frac{4π×10^{-7}×25}{8π}$

$=1.25×10^{-6} [H]=1.25[μH]$

(마지막에 H단위를 μH 단위로 바꾸기 위해

$10^6$을 곱했습니다)

답은 ①번입니다

7

(풀이)

결합계수라는 말이 나오면 무조건

 $$M=k\sqrt{L_1 L_2}$$

이 식을 떠올리라고 했습니다만

식을 이용하는 문제도 아니군요

결합계수 k의 범위를 묻고 있습니다

한 쪽 코일의 자속이

다른 코일의 전류 흐르는데

 전혀 영향을 주지 못하면

$k=0$

100% 다른쪽 코일 전류를

만드는데 쓰이면

$k=1$

이라고 했었는데

일반적인 결합계수는

0과 1사이라고

했었습니다

$0<k<1$

답은 ②번입니다

8

(풀이)

동축케이블의 

인덕턴스를 물었네요

동축케이블의 인덕턴스는

외부와 내부를 구분해야하는데

그냥 단위길이당

인덕턴스를 물었으니

'외부' 라고 생각하면 됩니다

( 문제 끝에 '내부 인덕턴스를

무시하라' 라는 말이 있는것도

힌트가 되겠네요)

동축케이블의

외부 인덕턴스는

$$L=\frac{μ}{2π}ln\frac{b}{a}$$

( 단위길이당 이라는 말이 있으므로

길이 $l$을 곱하지 않습니다 )

a=1[mm]

b=3[mm]

$μ=μ_0 × μ_r =4π×10^{-7}×1$

대입해보면

$L=\frac{μ}{2π}ln\frac{b}{a}=\frac{4π×10^{-7}}{2π}ln\frac{3}{1}$

$=2×10^{-7}×ln3$

$≒2.19×10^{-7}[H/m]$

$=0.22[μH/m]$

마지막에 [H/m] 를 [μH/m]로

바꾸기 위해 $10^6$을

곱했습니다

답은 ②번입니다

9

(풀이)

(아까 2번문제와 보기구성만

살짝 다르군요)

결합계수라는 말이 나오면 무조건

 $$M=k\sqrt{L_1 L_2}$$

이 식을 이용합니다

결합계수 k에 대하여

정리하면

$$k=\frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}$$

입니다

답은 ③번입니다

< 요약 >

이것으로

11장이 마무리됩니다!

마지막장만 남겨두고 있네요

얼른 마무리까지 달려보겠습니다

감사합니다!