[Lv1] 11장. 인덕턴스 ① 인덕턴스 개념, 단위 및 공식(솔레노이드), 유기기전력

안녕하세요!

11장 시작하겠습니다

'인덕턴스(L)'에 대한 내용을

보려고 합니다

회로이론에서

기본이되는 소자가

R,L,C 입니다

 전기자기학에서

원리를 공부하고

회로에서는 이론적인 내용을

 활용해서 만든 소자의 

기능 위주로 다루는 것이죠

저항R과 정전용량C는

앞에서 다루었고

이제 인덕턴스L을 

보면 R,L,C를 

모두 보는셈입니다

***

8장과 9장에서

도체 또는 코일에 전류를 흘려주면

자속이 발생함을 공부했습니다

이 때

전류를 많이 흘려주면

발생되는 자속도 많을겁니다

Φ ∝ I 인 것이죠

만약 코일의 감은 권수가 N이면

전류가 흐를때  발생하는 전체자속의 양은

자속 Φ에 권수 N을 곱한 값이 됩니다

이 NΦ값이 전류 I와 비례관계가 되겠죠

즉 NΦ ∝ I 입니다

( 직선 도선, 원형 도선 등은

 감은 횟수 N을 1로 보면 됩니다 )

I가 커지면 NΦ도 커지는건 맞는데

NΦ = I 인것은 아닙니다

즉 I가 2[A], 3[A], 4[A]로 커질때

NΦ도 2[Wb], 3[Wb], 4[Wb]가 

되지는 않습니다

I에 일정값을 곱해야 NΦ와 

완전히 같아지는데

이 때  I에 곱해주는 비례상수를

L이라 하고 인덕턴스라고 부릅니다

즉 "NΦ는 I의 몇배가 된다"의

'몇배'에 해당하는 것이 L입니다

결과적으로

L을 포함한 관계식은

$NΦ=LI$ 가 됩니다

***

9장의 기자력을 보면서

전기회로의 $V=IR$과 대응하는 식이

$NI=ΦR$ 라고했었는데

그것과 별개로 

인덕턴스가 들어가는 식인

$NΦ=LI$를 잘 알아두어야 합니다

인덕턴스 L은

$L=\frac{NΦ}{I}$가 됩니다

전류에 대한 자속의 비율이라고

볼 수 있습니다

전류 I가 흐를때

발생하는 자속 NΦ는

L값에 의해서 결정되는 것입니다

코일마다 L값은 다를 것이므로

인덕턴스 L값은 전류 I가 흐를때

 그 전류를 자속으로 환산하는 

코일의 능력이라고도

볼 수 있겠습니다

 

***

10장의 

페러데이와 렌츠법칙에서

유기기전력(e)를

$e=-N \frac{dΦ}{dt}$라고

했었죠

이것을 방금봤던

$NΦ=LI$라는 식에 의해서

$e=-N \frac{dΦ}{dt}=-L \frac{di}{dt}$

로도 쓸수 있습니다

N 대신 L을 쓰고

Φ대신 전류 i를 쓰는것이죠

유기기전력을 구할 때

두 가지 식을 이용할 수 있음을

기억합시다

문제에서 유기기전력을

구하라고 하는데

'시간'이 주어져있으면

$e=-N \frac{dΦ}{dt}=-L \frac{di}{dt}$

둘중에 하나를 이용함을 기억합시다!

***

인덕턴스의 단위는

[H]를 사용하고 읽을 때는

'헨리'라고 읽습니다

[H] 말고도 여러 단위가 있는데

$[Wb/A]$, $[\frac{V}{A}·sec]$, $[Ω·sec]$

가 있습니다

간단하게 하나씩 보면

①

 [Wb/A]는

$L=\frac{NΦ}{I}$ 식에서

Φ는 [Wb], I는 [A]이므로

Φ/I → [Wb/A]가 나오구요

②

 $[\frac{V}{A} sec]$는

$e= -L \frac{di}{dt}$  식에서

L만 남기고 이항하면

$L=-e\frac{dt}{di}$ 입니다

e는 [V], 

dt는 시간의 변화량이므로 [sec]

di는 전류의 변화량이므로 [A]

따라서 $-e\frac{dt}{di}$ → $[V·\frac{sec}{A}]=[\frac{V}{A}·sec$] 입니다

③

 $[Ω·sec]$는

바로 앞의 [$\frac{V}{A}·sec$]에서

[$\frac{V}{A}$]가 각각

V는 전압, A는 전류의 단위이므로

옴의법칙에 의해

$\frac{전압}{전류}=저항$에서

[$\frac{V}{A}$] 대신

저항의 단위 $[Ω]$을 사용하여

 $[Ω·sec]$가 되는 것입니다

단위를 묻는 문제가 

간혹 출제됩니다

저런식으로 

유도가 가능하다고 하지만

암기해놓는게 편합니다

$[H] = [Wb/A] = [\frac{V}{A}·sec] = [Ω·sec]$

인덕턴스 단위

잘 알아둡시다!

***

이제 도체별 인덕턴스를

알아보려고 합니다

(1) 환상솔레노이드

(환상철심)

먼저 환상솔레노이드입니다

9장의 자기회로 부분에서 

다루었던게 환상솔레노이드였는데요

여기서 자속 Φ를 구하는 식이

$$Φ=\frac{NI}{R_m}=\frac{NI}{\frac{l}{μS}}=\frac{μSNI}{l}$$

라고 했었습니다

$L=\frac{NΦ}{I}$이므로

Φ 대신 $\frac{NI}{R_m}$를 대입하면

$L=\frac{NΦ}{I}=\frac{N}{I} \frac{NI}{R_m} = \frac{N^2}{R_m}  $

이라는 식이 하나 나오구요

Φ 대신 $\frac{μSNI}{l}$를 대입하면

$L=\frac{NΦ}{I}=\frac{N}{I} \frac{μSNI}{l} = \frac{μSN^2}{l}$

이라는 식이 하나 나옵니다

(위와 같이 L을 유도할 수도 있습니다)

어쨌든 결과적으로

환상솔레노이드에서 인덕턴스를

구하는 공식은

$$L= \frac{N^2}{R_m} = \frac{μSN^2}{l}$$

입니다

공식도 잘 알아두어야하고

인덕턴스 L이 권수 N의 제곱에 비례

한다는 것도 잘 알아둡시다!

$L ∝ N^2$

예를들어

동일한 종류의 코일인데

권수가 2배가 되면, 

즉 권수가 50인 것보다

권수가 100인 경우가

인덕턴스는 4배가 됩니다

(2) 무한장 솔레노이드

무한장솔레노이드도

인덕턴스 L값은

$$L=\frac{μSN^2}{l}$$

입니다

다만 무한장솔레노이드는

길이가 무한하므로

단위길이로 따집니다

8장에서

자계를 구할때도 

'단위길이당 자계'를 구했듯이

인덕턴스를 구할때도

'단위길이당 인덕턴스'를 구합니다

인덕턴스에 길이 $l$을 나눠줘야합니다

즉 $\frac{L}{l}$를 계산하면

$$\frac{L}{l}=\frac{\frac{μSN^2}{l}}{l}=\frac{μSN^2}{l^2}$$

$$=μS\frac{N^2}{l^2}=μS(\frac{N}{l})^2=μSn_0 ^2$$

( $\frac{N}{l}=n_0$ :단위길이당 권선수 )

따라서

$L=μSn_0 ^2$

입니다

이때 S는 철심의 단면적인데

반지름이 a인 철심이라면

$S=πa^2$ 이므로

$L=μSn_0 ^2=μπa^2 n_0 ^2$

이 됩니다

***

문제 풀어볼게요

오랜만에 또 문제가 많습니다

1

(풀이)

환상솔레노이드의 

자기인덕턴스 L값을 물었네요

( 자기인덕턴스라는 말은 

다음 포스팅에서 공부할

 M값과 구분되는

 의미입니다

이번 포스팅에서 봤던

 L값을 의미한다고

 보시면 됩니다 )

$$L=\frac{μSN^2}{l}$$

을 이용하면 됩니다

보기에 그런 공식이

안보이는데요!

당황하지말고

μ를 풀어헤쳐주면 됩니다

$μ=μ_0 μ_s$인데

$μ_s$에 대한 정보는 없으니깐

진공이나 공기중인가보다

가정해도 무방합니다

즉 $μ_s=1$ 이라고 보면 됩니다

그럼

$μ=μ_0$인데

$μ_0=4π×10^{-7}$ 이므로

$$L=\frac{μSN^2}{l}=\frac{4π×10^{-7}×SN^2}{l}=\frac{4πN^2 S}{l}×10^{-7}$$

입니다

$μ_0=4π×10^{-7}$ 이므로

보기중에 대충 -7승이 들어간 것을

 찾아도 답이되는거였군요

답은 ③번입니다

2

(풀이)

무한히 긴 솔레노이드의

자기인덕턴스를 구하라고 했습니다

무한장솔레노이드의 L값을

구하라는 문제네요

$L=μSn_0 ^2$

라는 공식을 알고 있다면

바로 답을 고를 수 있습니다

S에는 제곱이 안들어가고

$n_0$에 제곱이 들어감을 

유의해서 암기합시다!

답은 ②번입니다

3

(풀이)

단위를 물어보는 문제입니다

[H]=[Ω·sec]임을 묻는 문제가

가끔 한문제씩 나오기 때문에

알고있으면 금방

답을 고를수있습니다!

[H]와 같은 단위

$[H] = [Wb/A] = [\frac{V}{A}·sec] = [Ω·sec]$

모두 알아둡시다

답은 ③번입니다

4

(풀이)

인덕턴스에 관한 문제입니다

환상코일의 인덕턴스를 물었으므로

$$L=\frac{μSN^2}{l}$$

 를 활용하면 됩니다

L은 권수(N)의 제곱에

비례하므로

권수만 2배로 늘이면

L은 4배가 되어야 합니다

$$\frac{μS(2N)^2}{l}=\frac{4μSN^2}{l}=4L$$

4L이 되지않고

일정하게 L이되려면

분모가 4배가 되던지

분자에서 다른 요소가

1/4배가 되면 됩니다

즉 μ 또는 S가 1/4배가 되거나

$l$이 4배가 되면 됩니다

보기를 하나씩 계산해보고

L이 나오는 보기를 확인하는

방법도 있습니다

① 

길이 $l$을 2배로 하면

$\frac{4μSN^2}{2l}=2L$

길이는 4배가 되어야

인덕턴스가 L로 일정해집니다 (X)

② 

단면적 S를 1/4로 하면

$\frac{4μ(\frac{1}{4} S)N^2}{l}=\frac{μSN^2}{l}=L$

맞습니다 (O)

③ 

비투자율 $μ_s$를 1/2배로 하면

$μ$가 1/2배가 되는 것이므로

$\frac{4((\frac{1}{2}μ)SN^2}{l}=2L$

비투자율은 1/4배가 되어야

인덕턴스가 L로 일정해집니다 (X)

④

인덕턴스 L은 

전류의 세기와 무관합니다

권수만 2배가 된 셈이므로

$$\frac{4μSN^2}{l}=4L$$ 입니다 (X)

답은 ②번입니다

5

(풀이)

무한장 솔레노이드의

L값을 묻는 문제입니다

공식을 암기하면

바로 답이 나오는 문제입니다

$L=μSn_0 ^2$인데 

보기에 답이없네요

반지름이 a이므로

S 대신 $S=πa^2$를

대입하면

$L=μSn_0 ^2=μπa^2 n_0 ^2$

가 됩니다

둘다 외워두면 좋을것 같네요

답은 ①번입니다

6

(풀이)

유기되는 기전력

즉 유기기전력을 묻는 문제인데

주어진것은 인덕턴스 L과

0.2초라는 시간과

2[A]라는 전류가 나와있습니다

유기기전력을 구하라는데

시간이 주어져있으면

$e=-N \frac{dΦ}{dt}=-L \frac{di}{dt}$

둘 중 하나를 활용하자고 했었죠

인덕턴스 L과 전류 I가 주어져있으니

$e=-L \frac{di}{dt}$를 활용합시다

인덕턴스가 20[mH]라고 주어졌는데

공식의 L은 [H] 단위이므로

20[mH]를 [H] 단위로 바꿔야합니다

m(밀리) 는 $10^{-3}$을

의미하므로

$20[mH] = 20×10^{-3} [H]$ 입니다

L 자리에  $20×10^{-3} [H]$를 

대입해야 합니다

di는 전류의 변화량인데 문제에

2[A] 변화했다고 나오므로 이자체가

변화량입니다

dt는 시간의 변화량인데 

0.2초 동안 이라고 했으므로

0.2를 대입하면 됩니다

따라서 기전력 e는

$$e=L \frac{di}{dt}=$(20×10^{-3})×\frac{2}{0.2}$$

$$=20×10^{-2}=0.2[V]$$

$e=-L \frac{di}{dt}$

이 공식에서 (-)는

보기에 (-)가 있을 때만

고려하면 됩니다

이 문제에는 보기에

 (-)가 없으므로

(-)를 무시하고 크기만

계산하면 됩니다

답은 ②번입니다

7

(풀이)

무한장 솔레노이드의 

인덕턴스 값에 대한

내용이네요

공식을 떠올려보면

$L=μSn_0 ^2=μπa^2 n_0 ^2$

입니다 

(S는 단면적, a는 반지름입니다)

μ, S, $n_0$, a 값은

증가할 때 L값이 증가하겠네요

① 

철심의 반경 a가 증가하면

L은 반경 a의제곱에 비례해서

증가합니다 (O)

②

$L=μSn_0 ^2=μπa^2 n_0 ^2$

공식에는

철심의 길이 $l$이

등장하지 않으므로

철심의 길이와 무관합니다

따라서 철심의 길이가 

증가해도 L은 그대로입니다 (X)

③

코일의 권수가 증가하면

$n_0$값이 증가하므로

L값이 증가합니다

(사실 단위길이당 권수라고 하는게

더 정확하지만 다른 보기에

확실히 틀린 게 있어서

이 보기는 맞는 것으로

봐야할 것 같습니다 (O) )

④

철심의 투자율이 증가하면

μ값이 증가하고

L값도 증가합니다 (O)

정답은 ②번입니다

***

< 요약 >

11장 첫번째 포스팅을

마무리하겠습니다

두번째 포스팅도

얼른 올려서

계속 이어갈게요

감사합니다!!