[Lv1] 12장. 전자장(고유임피던스, 전파속도, 포인팅벡터)

안녕하세요!

드디어 마지막장입니다

이번 12장은

한번만에 끝낼수

 있을것 같습니다

자주 나오는 내용 위주로

식 정리한다는 생각으로

보시면 됩니다

2장~6장까지는

전계에 대한 내용을

7장~11장까지는

자계에 대한 내용을

각각 정리했습니다

12장의 전자장은

전계와 자계가 한꺼번에

등장하는 공간을 다루는데

이것을 '전자장'이라고 합니다

전자장 내에서

전계와 자계가 혼합되어 있는

파동을 '전자파'라고 합니다

(전자파라는 말

많이 들어보셨을 것입니다)

전자파의 특징이

몇가지 있는데요

(1) 전계와 자계는 서로 수직

전계(E)와 자계(H)는 

서로 90˚관계입니다

전자파라고 검색해보시면

두 개의 파형이 서로

90도를 이루는 것을

보실 수 있습니다

(2) 전계와 자계가 동상

동상은 위상이 같다는 뜻으로

전계와 자계가 서로 

크기는 다를지라도 

같은 변화패턴을

가진다는 의미입니다

쉽게말해

전계 E가 최대일때

자계 H도 최대이고

전계 E가 최소일때

자계 H도 최소입니다

( 전계와 자계가 서로 수직이지만

위상차이는 없습니다 

서로 수직이면서

동시에 동상인 것입니다 )

위상에 대한 내용은

앞으로 공부하면서

더 자세히 알게 되므로

우선은 '동상'이라는 사실을

가볍게 알고 넘어가면 됩니다

(3) 진공, 공기중에서는

전계E가 자계H의 377배 크다 

말 그대로 진공이나 공기에서는

E가 H보다 377배 크다고

생각하시면 됩니다

잠시후 또 다룰 내용인데

우선 E가 진공과 공기에서는

H보다 훨씬 크다는 사실을

기억합시다

(4) 전계에너지와

자계에너지는 서로 동일

E와 H가 만들어내는

에너지는 서로 동일합니다

전계의 에너지 공식 중에

$\frac{1}{2}εE^2$ 라는 식이 있었고

자계의 에너지 공식 중에

$\frac{1}{2}μH^2$ 라는 식이 있었죠

이 두 식이 서로 같다는 뜻입니다

즉

$$\frac{1}{2}εE^2=\frac{1}{2}μH^2$$

입니다

식을 정리하면

$$\frac{E}{H}=\sqrt{\frac{μ}{ε}}$$

입니다

이 모양을 알아둡시다

굳이 $\frac{E}{H}$라는 형태로

만든 이유가 있습니다

잠시 후에 다룰 

'고유임피던스' 때문입니다

***

* 고유임피던스

전자장에서 전자파의 흐름을

방해하는 값이 있습니다

전기회로나 자기회로에서

저항이라고 불렀던 것과

비슷한 개념인데요

회로이론에서도 배우겠지만

이를 임피던스라고 합니다

전자장에서 전자장의

임피던스를 특별히

'고유임피던스' 라고 

부릅니다

고유임피던스의 기호는

$Z_0$ 또는 $η$ 입니다

(η=이타 라고 읽습니다)

임피던스가 저항과 비슷한

개념이라고 했었죠

$저항=\frac{전압}{전류}$

$=\frac{V}{I}$

여기서 

전압을 전위개념으로 

볼 수 있으므로

전위 $V=E×l$ 이고

전류와 자계의 관계식에서

무한장 직선도체의 경우

$H=\frac{I}{l}$ 이므로

($l=2πr$)

$I=H×l$ 입니다

따라서

$$η=\frac{V}{I}=\frac{E×l}{H×l}=\frac{E}{H}$$

이므로 고유임피던스는 

전계와 자계의 비로

구할 수 있습니다

그런데 

위쪽에서 전자파의

전계에너지=자계에너지

라고 하면서

 $$\frac{E}{H}=\sqrt{\frac{μ}{ε}}$$

라고 하는 식을 봤었죠!

이 식이

고유임피던스에 연결이 됩니다

결론적으로

 $$η=\frac{E}{H}=\sqrt{\frac{μ}{ε}}$$

임을 알 수 있습니다

***

μ 와 ε는 각각

$μ=μ_0 μ_s$

$ε=ε_0 ε_s$

로 나타낼 수 있고

$μ_0=4π×10^{-7}$

$ε_0=8.85×10^{-12}$

입니다

이를 이용해 정리하면

$$\sqrt{\frac{μ}{ε}}=\sqrt{\frac{μ_0 μ_s}{ε_0 ε_s}}=\sqrt{\frac{μ_0}{ε_0}}×\sqrt{\frac{μ_s}{ε_s}}$$

$$=\sqrt{\frac{4π×10^{-7}}{8.85×10^{-12}}}×\sqrt{\frac{μ_s}{ε_s}}$$

$$=377×\sqrt{\frac{μ_s}{ε_s}}$$

입니다

진공과 공기에서는 

$μ_s=1$ , $ε_s=1$이므로

$$η=\frac{E}{H}=377×\sqrt{\frac{1}{1}}=377$$

따라서 $E=377H$

입니다

진공(공기)에서 E가 H보다

377배 크다는 것을

확인할 수 있습니다

종합하면

 $$η=\frac{E}{H}=\sqrt{\frac{μ}{ε}}=377\sqrt{\frac{μ_s}{ε_s}}$$

입니다

고유임피던스를 묻는 문제에서

$\sqrt{\frac{μ}{ε}}$ 나 $377\sqrt{\frac{μ_s}{ε_s}}$ 가 보이면

답으로 체크하면 됩니다

고유임피던스를 

물을수도 있고

전계와 자계의 비를

 물을수도 있습니다

같은 말이라는 것을

상기합시다!!

***

* 전파속도

전자파가 이동하는 속도를

전파속도라고 합니다

기호는 $v$를 쓰고

단위는 $[m/s]$입니다

공식을 알고 

답 체크할 수 있으면 되는데

전파속도 $v$의 공식은

$$v=\frac{1}{\sqrt{εμ}}$$ 

입니다

풀어서 쓰면

$$\frac{1}{\sqrt{εμ}}=\frac{1}{\sqrt{ε_0 ε_s μ_0 μ_s}}=\frac{1}{\sqrt{ε_0 μ_0}}×\frac{1}{\sqrt{ε_s μ_s}}$$

$$=\frac{1}{\sqrt{8.85×10^{-12}×4π×10^{-7}}}×\frac{1}{\sqrt{ε_s μ_s}}$$

$$=3×10^8×\frac{1}{\sqrt{ε_s μ_s}}=\frac{3×10^8}{\sqrt{ε_s μ_s}}$$

입니다

정리하면

$$v=\frac{1}{\sqrt{εμ}}=\frac{3×10^8}{\sqrt{ε_s μ_s}}$$ 

입니다

공기나 진공에서는

$μ_s=1$ , $ε_s=1$이므로

$$v=\frac{3×10^8}{\sqrt{1×1}}=3×10^8 $$

입니다

전파속도를 물으면

$\frac{1}{\sqrt{εμ}}$ 또는 $\frac{3×10^8}{\sqrt{ε_s μ_s}}$

를 답으로 체크하면 됩니다!

***

* 포인팅벡터

마지막으로

포인팅 벡터라는

개념을 보겠습니다

어떤 안테나 한점에서

전자파를 쏘면

사방으로 퍼져가겠죠

이때 최초에 쏘는

전자파가 가지는 에너지를

$P_0$라고 하면

('전력'을 의미합니다)

한 점에 모여있던

전자파가 사방팔방 

퍼지는거니까 당연히

멀어질수록 전자파의

에너지가 줄어든다고

할 수 있습니다

정확하게 말하면

에너지의 총량은 같지만

그 에너지가 여기저기

 흩어지는것이므로

'단위면적당 에너지'가

줄어드는 것입니다

(단위면적당 전력이라는 의미로

전력밀도라는 말도 사용합니다)

퍼져 나간 전자파의 에너지를

벡터로 표현한 것을

이를 포인팅벡터라고 합니다

(여담이지만 포인팅이라고 해서 저도

Pointing의 의미로 생각했었는데

Poynting 이라는 물리학자의 이름을

딴 거라고 하네요)

포인팅벡터의 크기를 구하기 위해

단위면적당 에너지를

계산하여 구하게 됩니다

$\vec{p}=\frac{P_0}{S}$

입니다

단위는 $[W/m^2]$ 입니다

전기자기학에서

$[W/m^2]$단위를 쓰는 곳은

포인팅벡터 부분이 유일합니다

( 단위면적당 에너지를 의미하는

단위입니다 )

( W는 회로이론에서 

전력의 단위에 해당합니다

와트라고 읽습니다

에너지라고 생각하면 됩니다 )

지금까지가 포인팅벡터의

개념적인 설명입니다

시험에 나오는 부분은

따로 있는데요

문제에서 포인팅벡터를

물어보거나

전력밀도를 물어보면

(혹은 묻는 것의 단위가

 $[W/m^2]$ 이면)

보기에서

E×H 또는 EH가 보이면

무조건 답입니다

전자파가 뻗어가는것이므로

전자파를 이루는

전계와 자계의 벡터곱을

구한다고 생각하시면 되는데요

사실

무엇을 물어보는 문제인지

생각할 필요도 없이 보기에 

E×H 또는 EH가 보이면

예외없이 무조건 답입니다

포인팅벡터 부분에서는

이것만 건져도

유용합니다

정리해보면

12장 전자장은

전계(E)와 자계(H)가 공존하는

공간에 대한 내용으로

E와 H의 관계를 

식으로 다루는 챕터입니다

E와 H를 나누면

즉, $\frac{E}{H}$를 통해

고유임피던스를 구할 수 있고

E와 H를 곱하면

포인팅벡터를 구할 수 있습니다

***

문제 풀어보겠습니다

1

(풀이)

전자파의 속도를 

물어보는 문제입니다

전파속도를 말합니다

전자파의 속도 공식을

떠올리면

$$v=\frac{1}{\sqrt{εμ}}=\frac{3×10^8}{\sqrt{ε_s μ_s}}$$ 

입니다

$\frac{1}{\sqrt{εμ}}$ 또는$\frac{3×10^8}{\sqrt{ε_s μ_s}}$가

보이면 답으로 체크하면 됩니다

보기를 보니 ④번에

$\frac{3×10^8}{\sqrt{ε_s μ_s}}$가 보이네요

①번은 고유임피던스의

공식입니다

고유임피던스와 

전파속도 공식을

잘 구분합시다

답은 ④번입니다

2

(풀이)

전자파에서

E와 H의 비를 물었네요

$\frac{E}{H}$는

고유임피던스를 

나타냅니다

고유임피던스 공식은

 $$η=\frac{E}{H}=\sqrt{\frac{μ}{ε}}=377\sqrt{\frac{μ_s}{ε_s}}$$

입니다

$\sqrt{\frac{μ}{ε}}$ 나 $377\sqrt{\frac{μ_s}{ε_s}}$ 가 보이면

답으로 체크하면 됩니다

보기를 보니 ②번에

$377\sqrt{\frac{μ_s}{ε_s}}$가 보이네요

답은 ②번입니다

3

(풀이)

전력밀도를 물었네요

또한 단위가 $[W/m^2]$

라는 것을 통해

포인팅벡터를 찾으라는

문제임을 알 수 있습니다

그런데

보기를 보니

EH가 보이네요

사실

무엇을 물어보는 문제인지

생각할 필요도 없이 보기에 

E×H 또는 EH가 보이면

예외없이 무조건 답입니다

$\frac{1}{2}$이 붙거나 제곱이

붙지 않고 순수하게

E×H 또는 EH인 보기가

답이 됩니다

답은 ②번입니다

4

(풀이)

전파속도를 

물어보는 문제네요

전자파의 전파속도

 공식을 떠올리면

$$v=\frac{1}{\sqrt{εμ}}=\frac{3×10^8}{\sqrt{ε_s μ_s}}$$ 

입니다

$\frac{1}{\sqrt{εμ}}$ 또는 $\frac{3×10^8}{\sqrt{ε_s μ_s}}$가

보이면 답으로 체크하면 됩니다

보기를 보니 ①번에 $\frac{1}{\sqrt{εμ}}$가

보이네요

④번은 고유임피던스를

구하는 공식입니다

고유임피던스와 

전파속도 공식을

잘 구분합시다

답은 ①번입니다

5

(풀이)

고유임피던스를 

묻는 문제네요

고유임피던스 공식은

 $$η=\frac{E}{H}=\sqrt{\frac{μ}{ε}}=377\sqrt{\frac{μ_s}{ε_s}}$$

입니다

$\sqrt{\frac{μ}{ε}}$ 나 $377\sqrt{\frac{μ_s}{ε_s}}$ 가 보이면

답으로 체크하면 됩니다

보기를 보니 ②번에

$\sqrt{\frac{μ}{ε}}$ 가 보이네요

답은 ②번입니다

6

(풀이)

포인팅벡터를

구하라는 문제입니다

보기를 보니

E×H가 보이네요

E×H 또는 EH가 보이면

무조건 답이라고 했었죠

$\frac{1}{2}$이 붙거나 

다른 기호가 들어가지 않고

 순수하게

E×H 또는 EH인 보기가

답이 됩니다

답은 ③번입니다

< 요약 >

12장 마무리하겠습니다

전기자기학 첫 회독 포스팅내용은

여기서 마무리가 되겠네요

우선적으로 2장부터

전기자기학 내용의

 큰 틀을 잡고

 자주 나오는 내용 위주로

공부해봤습니다

앞으로 계속 Lv2 포스팅도

이어가고 다른 과목도 틈나는대로

해보려고 합니다

다음 포스팅에서 마지막으로 

자계 내용 전체적으로 리뷰한번

하고 Lv1 전기자기학

마무리 하겠습니다

감사합니다!!