[Lv1] 7장. 정자계 ② 자위와 자기쌍극자, 막대자석의 회전력(토크)과 일에너지

안녕하세요!

7장 두번째 포스팅입니다

정자계에서 남은 내용들을

정리하고 7장 마무리하려고 합니다

먼저 자위에 대한 내용을 보겠습니다

* 자위

자위는 2장에서의 전위에 대응되는

개념입니다. '전'이 '자'로 바뀐것 뿐이죠

자위는 '자기적 위치에너지' 라는 뜻이고

자하 또는 자극이 자계의 방향을 거슬러서 

이동하는데 필요한 일의 양으로 정의됩니다

(자세한 설명은 전위 부분과 완전히 동일하므로

2장의 ③번 포스팅을 참고하시면 됩니다)

즉 자위(U)는

$$U=H · r$$ 입니다

(전위가 $V=E·r$인 것을 상기하시면 좋습니다)

자계 H가

$H=\frac{m}{4πμr^2}$ 이므로

$$U=H · r = \frac{m}{4πμr^2} = \frac{m}{4πμr}$$

이 됩니다

* 자기쌍극자

2장의 전기쌍극자에 대응하는 내용입니다

모든 자석은 N극과 S극의 쌍으로 존재하므로

N극과 S극의 자석을 하나의 덩어리로 해석하는 것이

자기 쌍극자의 내용입니다

자석에서 자극의 세기를 $m$이라고 하고

자석의 길이를 $l$이라고 하면

두 개를 곱해준 값을 자기쌍극자모멘트라고

정의합니다

$$M=ml$$

이제 자기쌍극자의 자계와 자위를

살펴보겠습니다

자기쌍극자에서의 자계와 자위의

공식을 알고 그로부터 알수 있는

특징을 암기하면 됩니다

1) 자계

$$H=\frac{M}{4πμ_0r^3} \sqrt{1+3cos^2 θ}  [AT/m]$$

입니다 이 식으로부터 알 수 있는 것들은

① 자기쌍극자의 자계는

거리 세제곱($r^3$)에 반비례한다

② 자기쌍극자의 자계는

θ=0˚에서 최대가 되고

θ=90˚ ($\frac{π}{2}$)에서 최소가 된다

2) 자위

$$U=\frac{Mcosθ}{4πμ_0 r^2}=6.33×10^4 ×\frac{Mcosθ}{r^2}$$

입니다 이 식으로부터 알 수 있는 것들은

① 자기쌍극자의 자위는

거리 제곱($r^2$)에 반비례한다

② 자기쌍극자의 자위는

θ=0˚에서 최대가 되고

θ=90˚ ($\frac{π}{2}$)에서 최소가 된다

전기쌍극자의 공식을 자기 파트에 맞게

바꾼 것에 불과하고 내용은 동일합니다

다시 복습한다는 생각으로 

공부하면 좋을 것 같네요

자기쌍극자 내용은 여기까지입니다!

* 자계 내 막대자석을 놓았을 때 회전력(토크)

마지막으로 볼 내용은 

막대자석과 회전에 대한 내용입니다

어떤 공간에 N극과 S극이 있으면

N극에서 S극 방향으로

자계가 형성될 것입니다

자계 안에 조그만 막대자석을

넣는다면 어떻게 될까요?

막대자석에도 N극과 S극이 있기 때문에

원래 있던 자계의 N극과 막대자석의 N극은

서로 반발하고 S극과는 잡아당길 것입니다

막대자석의 S극은 반대로 원래 있던 자계의 S극과

반발하고 자계의 N극과는 잡아당길 것입니다

그로 인해 막대자석이 일정하게

힘을 받아 저절로 회전하게 되는데

이 힘을 막대자석의

회전력 또는 토크라고 합니다

자계를 $H [AT/m]$

막대자석의 자극의 세기를 $m[Wb]$

막대자석의 길이를 $l [m]$이고

막대자석을 자계와 θ의 각도로 놓았을 때

회전력(T)는

$$T=mlHsinθ=MHsinθ=M×H$$

입니다 이 때 $M=ml$(자기쌍극자모멘트)이고

 M×H는 회전력을 벡터의 외적으로 표현한 식입니다

M×H는 우선 식 모양만 알아두면 되고

mlHsinθ=MHsinθ는 문제에서 주어졌을 때

계산할 수 있어야 합니다

'막대자석' 과 '회전력' 이라는 말이 나오면

$T=mlHsinθ=MHsinθ=M×H$ 식을 떠올립시다

* 막대자석을 회전시키는 데 필요한 에너지

위에서 보았듯이 

자계 안에 집어넣은 막대자석은 

가만히 놔두면

N극은 자계의 S극으로

S극은 자계의 N극쪽으로

회전합니다

이 때 N극이 자계의 S극쪽으로

S극이 자계의 N극쪽으로

향해있는 막대자석을 

억지로 θ만큼 회전시키려면

회전력과 반대방향으로 

회전시키는 것이기 때문에

그만큼의 일에너지가 필요할 것입니다

막대자석을 각도 θ만큼 회전시키는데

필요한 일에너지는

$$W=MH(1-cosθ)$$

입니다

앞에서 본 회전력과 다른 것은

회전력은 막대자석을 넣었을 때

저절로 회전하려 하는 힘이고

지금 보는 것은 외부에서 힘을 가해서

억지로 반대쪽으로 θ만큼 이동시키는 데 

필요한 일(에너지)을 말합니다

막대자석이라는 말이 나왔는데

'일' 또는 '일에너지' 라는 말이 함께 나오면

$W=MH(1-cosθ)$ 이 공식을

적용하면 됩니다

문제로 적용해보겠습니다

1

2

3

1

'막대자석' 과 '회전력' 이라는 말이 보이므로

$$T=mlHsinθ=MHsinθ=M×H$$

이 공식을 적용합시다

$m=8×10^{-6}$ , $l=0.03 [m]$ 

(길이 $l$은 [cm]단위를 [m]단위로 바꿔줘야 합니다)

$H=120$ ,  $θ=30˚$ 이므로

$$T=mlHsinθ=8×10^{-6}×0.03×120×sin30˚=1.44×10^{-5}$$

답은 ③번입니다

2

자기쌍극자의 자위라는 말이 보입니다

보기를 보니 공식을 묻는 문제네요

자기쌍극자의 자위는

$$U=\frac{Mcosθ}{4πμ_0 r^2}=6.33×10^4 ×\frac{Mcosθ}{r^2}$$

입니다 자위는 $r^2$에 반비례하고 

분자에 cosθ가 들어감을 기억하면 

답을 찾을 수 있습니다

답은 ④번입니다

3

막대자석이라는 단어와 함께

일이라는 단어가 보이네요

$$W=MH(1-cosθ)$$

 이 공식을 적용하면 됩니다

$M=9.8×10^{-5}$

$H=10.5$

$θ=90˚$ 이므로

$$W=MH(1-cosθ)=9.8×10^{-5}×10.5×(1-cos90˚)=1.03×10^{-3}$$

답은 ①번입니다

<요약>

7장은 이것으로 마무리하겠습니다

2장에서 배운 정전계 내용과

이름과 기호만 바뀌었을뿐

공식 모양이나 이론들이 유사하므로

2장을 잘 복습하고 7장을 본다면

쉽게 이해할 수 있습니다!

8장 포스팅으로 다시 뵙겠습니다

감사합니다~!!