[Lv1] 8장. 전류에 의한 자계 ② 자계 내 도체가 받는 힘(전자력) 및 평행도선, 기타 자계공식(무한평면,정다각형)

안녕하세요!

8장 두번째 포스팅입니다

8장을 마저 정리해볼게요

몇 개의 중요한 공식을 다루면

마무리가 될 것 같습니다

* 정삼각형, 정사각형, 정육각형의 자계의 세기

여러가지 도체의 모양별 자계를 

지난번 포스팅에서 다루었는데요

추가로 잘 나오는 자계의 세기 공식을

몇개 더 보겠습니다

전류가 흐르는 정n각형 도체의

중심에서의 자계의 세기를 묻는 문제가

자주 출제 됩니다

정삼각형과 정사각형, 정육각형의

자계의 세기 공식을 암기하고

문제에서 적용하면 됩니다

① 정삼각형

$H=\frac{9}{2} \frac{I}{πl}$

② 정사각형(정방형)

$H=2\sqrt{2} \frac{I}{πl}$

③ 정육각형

$H=\sqrt{3} \frac{I}{πl}$

$l$은 한 변의 길이[m] 입니다

$\frac{I}{πl}$은 공통이고 앞에 숫자만

바뀌는 형태이므로 쉽게 암기할 수 있습니다

* 무한평면의 자계의 세기

무한직선이 아닌 무한평면에서의

자계의 세기는 어떻게 될까요

증명과정을 이해하기는 복잡해서

다음 공식을 알고 넘어가면 됩니다

$H=\frac{i}{2} [A/m^2]$

식은 간단합니다 

여기서 $i$는 단위면적 즉 $1[m^2]$에서의

전류를 나타냅니다 전류밀도라고 하는 개념인데

무한평면이므로 전체전류는 무한대가 되기 때문에

전류밀도로 따지는 것입니다

중요한 것은

식에서 거리 r이 없습니다 즉

무한평면에서의 자계의 세기는

거리와 무관합니다

공식 계산이 나오지는 않고

무한평면에서 자계가 거리와 무관하다는

사실을 알아야 푸는 문제가 출제됐었습니다

( 그러고 보니 무한평면에서 전계 E도 거리와

무관했었네요 무한평면은 전계든 자계든

거리와 무관합니다)

지난 포스팅에서부터 지금까지

도체별 자계의 세기를 살펴봤습니다

마지막으로 살펴볼 내용은

 자계에 도체가 들어갈 때

도체가 받는 힘에 관한 내용입니다

* 자계 내 도체가 놓일 때 도체가 받는힘

(전자기력, 전자력)

7장에서 자계 내의 막대자석이 받는 힘(회전력)에 대해

공부했었습니다

( $T=mlHsinθ$ 였죠 )

이번엔 자계 내에 막대자석이 아니라

전류가 흐르는 도체를 넣었을 때

도체가 받는 힘의 방향과 크기는 

어떨지를 알아보겠습니다

먼저 힘의 방향입니다

* 플레밍의 왼손법칙(힘의 방향)

전류가 흐르는 도체(I)와

N극에서 S극으로 향하는

자속밀도(B)가 있을 때

도체가 받는 힘의 방향을

나타내는 법칙입니다

왼손의 엄지와 검지와 중지를

서로서로 수직이 되게 펼쳤을 때

엄지가 힘의방향(F)

검지가 자속밀도 또는 자계의 방향(B)

중지가 전류의 방향(I)

라는 것을 이용해 도체가 받는

힘의 방향을 찾아낼 수 있습니다

주어진 자계(자속밀도)의 방향으로

검지를 두고 전류가 흐르는 방향으로

중지를 갖다댔을 때 엄지가 가리키는 방향이

힘의 방향이 되는거죠!

손가락끼리 수직을 유지해야 정확한 방향이

나옵니다 ㅎㅎ

다음으로는 힘의 크기를 

알아보겠습니다

* 자계 내 도체가 받는 힘의 크기

(전자력, 전자기력의 크기)

자속밀도 B

전류 I

도체의 길이가 $l$이고

도체와 자계가 이루는 각도가 θ일때

힘의 크기 F는

$$F=BIlsinθ$$

입니다

전류 I와 자속밀도 B의 

벡터외적을 통해 나온 식입니다만

결과식만 알고있으면 문제에 적용이

가능합니다!

전류의 방향과 자계의 방향이

수직을 이루면, 즉 θ=90˚이면

sinθ=1이 되어 $F=BIl$이 됩니다

문제에 $B, I, l$이 주어졌다면

자연스럽게 $F=BIlsinθ$를 떠올리면

될 것 같습니다!

* 평행도선에 작용하는 힘

$F=BIlsinθ$ 식을 활용해

두 평행도체에 작용하는 힘을 구할 수 있습니다

위에서는 이미 존재하는 자계에

도체가 들어갔을 때 작용하는 힘을 다루었는데요

사실 전류가 흐르는 도체도 자계를 만든다고 했었죠

그러면 도체가 만드는 자계는 다른 도체에 어떻게

영향을 미칠지를 생각해볼 수 있습니다

평행도선이라는 것은 직선 도선 두개가 

일정 거리만큼 떨어져서 평행하게 있을 때

두 도선이 서로에 의해 받는 힘의 방향과 크기를

알아보려고 합니다

- 힘의 방향

앙페르의 오른나사 법칙에 의해

두 도체가 각각 만드는 자계를 

생각해볼 수 있습니다

1) 전류 방향이 같을 경우

먼저 두 도선의 전류의 방향이

같을 경우를 보겠습니다

앙페르의 오른나사 법칙에 의해

두 두선이 만드는 자계의 방향을

 각각 생각해보면

두 도선 사이의 자계는 

서로 반대방향으로 상쇄되고

두 도선의 바깥쪽 자계는 

같은 방향이 되어

두 도선의 자계가 합해질 것입니다

상대적으로

도선 사이의 자계는 약하고

도선 바깥쪽의 자계가 강해져서

자계의 힘의 균형이 깨집니다

즉 강한쪽이 약한쪽으로 밀어내는 힘이

작용하게 되어 결과적으로

도선끼리 서로 잡아당기는

흡인력이 작용하게 됩니다

2) 전류 방향이 반대일 경우

두 도선의 전류 방향이 반대라면

두 도선 사이의 자계는 

같은 방향이 되어

두 도선의 자계가 합해질 것이고

두 도선의 바깥쪽 자계는 

서로 상쇄될 것입니다

이번에는 도선 사이의 자계가 강해지고

도선 바깥쪽 자계가 약해져서

각자의 도선이 바깥쪽으로 이동하려는 

힘이 생기게 됩니다

결과적으로 도선끼리 서로 밀어내는

반발력이 작용하게 됩니다

요약하면 전류방향이 같으면 흡인력

전류방향이 반대이면 반발력이 작용합니다

- 힘의 크기

두 평행도선 사이에 작용하는 힘은

$F=BIlsinθ$ 식과

직선 전류에 의한 자계의 식

$H=\frac{I}{2πr}$

그리고 $B=μH$식을 이용해 구할 수 있습니다

계산과정이 중요하지는 않으니 생략하겠습니다

(추후 회독에서 증명하겠습니다)

계산하면 힘의 크기 F는 

$$F=\frac{2I_1 I_2}{r}×10^{-7} [N/m]$$

가 됩니다

힘의 크기가 $r$에 반비례한다는 것도

알 수 있네요

전류 방향이 같든지 다르든지 상관없이

적용하는 공식입니다

'두 개의 평행도체' 라는 말과

'힘' 또는 '전자력'이라는 말이 함께 나오면

이 공식을 떠올리시면 됩니다

문제 풀어보겠습니다

8장은 문제가 좀 많네요

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

(풀이)

1

자계의 세기를 묻는데

정육각형이네요

정삼각형, 정사각형, 정육각형의 

자계의 세기는 $\frac{I}{πl}$이 공통이고

 앞에 숫자만 바뀐다고 했었죠

정육각형은 앞의 숫자가 $\sqrt{3}$입니다 즉

$$H=\sqrt{3} \frac{I}{πl}$$

답은 ③번입니다

2

자계 내에 도체를 놓았을 때

도체에 작용하는 힘을 묻는 문제입니다

문제에 주어진 값을 기호로 표현해봅시다

자속밀도 $B=0.3[Wb/m^2]$

전류 $I=5[A]$

길이 $l=2[m]$

$θ=60˚$

$B, I, l, θ$를 보고 떠올릴 수 있는 식은

$F=BIlsinθ$ 입니다

힘을 물었으므로 공식 그대로 대입하여

F를 구하면 되겠습니다

$$F=BIlsinθ=0.3×5×2×sin60˚≒2.6$$

답은 ②번입니다

3

자계의 세기를 묻는데

정삼각형이네요

정삼각형, 정사각형, 정육각형의 

자계의 세기는 $\frac{I}{πl}$이 공통이고

 앞에 숫자만 바뀐다고 했었죠

정삼각형은 앞의 숫자가 $\frac{9}{2}$입니다 즉

 $$H=\frac{9}{2} \frac{I}{πl}$$

답은 ④번입니다

4

'두 개의 평행도체' 와 '힘' 또는 '전자력'

이라는 말이 나오면

$$F=\frac{2I_1 I_2}{r}×10^{-7} [N/m]$$

이 공식을 사용합니다

문제에서 거리 $r = 1[m]$

전류 $I = 1[A]$ 라고 주어졌네요

힘을 구하는 문제이므로 

공식 그대로 대입하시면 됩니다

$$F=\frac{2I_1 I_2}{r}×10^{-7} =\frac{2×1×1}{1}×10^{-7} = 2 × 10^{-7}$$

답은 ①번입니다

5

자계의 세기를 묻는데

정사각형이네요

정삼각형, 정사각형, 정육각형의 

자계의 세기는 $\frac{I}{πl}$이 공통이고

 앞에 숫자만 바뀐다고 했었죠

정사각형은 앞의 숫자가 $2\sqrt{2}$입니다 즉

 $$H=2\sqrt{2} \frac{I}{πl}$$

답은 ④번입니다

6

무한평면과 자계에 대한 문제입니다

무한평면에 흐르는 전류에 의해

생기는 자계의 세기는

 $H=\frac{i}{2} [AT/m]$

라고 했습니다

공식보다 중요한 것은

식에 r이 없다는 것

즉 거리에 무관하다는 사실이었습니다

따라서 무한평면에 의한 자계의 세기는

거리가 r[m] 떨어져있든

2r[m] 떨어져있든

전류가 일정하므로 동일합니다

동일하다는 것을 비율로

 1:1 또는 $\frac{1}{1}=1$로 나타냅니다

답은 ①번입니다

7

자장(자계)내의 도체에 작용하는 힘에 대한

문제입니다

문제에 주어진 것을 기호로 표현해보면

균일한 자장 = $H$

전류 = $I$

길이 = $l$

힘 = $F$

이 때 $B=μH$이므로

균일한 자장은 자속밀도(B)가 균일하다는 

뜻이라고 생각할 수 있습니다

이것을 종합해보면

$F=BIlsinθ$ 식을 떠올릴 수 있습니다

문제에 알맞은 공식을 떠올리려면 

어찌 됐든 많은 연습이 필요합니다 

개념적으로 

'자계 안에 도체가 놓였을 때 작용하는 힘에 대한

이야기니깐 $F=BIlsinθ$식을 적용해야지'

라고 생각하셔도 좋고

문제에 주어진 것을 기호화시켜보니

'$H, I, l, F$ 가 보이는데 $H$는 $B$가 주어진걸로도

볼 수 있으니 

$F=BIlsinθ$를 적용해보면 될것 같은데'

라고 접근하셔도 좋습니다

문제에서 일정한 자장이라고 했으므로 B가 일정

전류와 길이가 각각 2배가 되면

$F=BIlsinθ$ 에서 

B는 일정, $I$와 $l$이 각각 2배가 되면

전체 F는 4배가 됩니다

답은 ③번입니다

8

자속밀도를 물었는데

정사각형이네요

사실 정사각형의 자계를 물은 거나 

자속밀도를 물은 거나 마찬가지입니다

어차피 $B=μH$ 이기 때문에

정사각형의 자계의 세기를 구하고 

μ만 곱해주면 끝이기 때문입니다

정삼각형, 정사각형, 정육각형의 

자계의 세기는 $\frac{I}{πl}$이 공통이고

 앞에 숫자만 바뀐다고 했었죠

정사각형은 앞의 숫자가 $2\sqrt{2}$입니다 즉

 $$H=2\sqrt{2} \frac{I}{πl}$$

여기에 μ만 곱해주면 자속밀도 B가 되므로

 $$B=2\sqrt{2} μ_0\frac{I}{πl}$$

답은 ③번입니다

9

'두 평행도선' 과 '힘' 또는 전자력'

이라는 말이 나오면

$$F=\frac{2I_1 I_2}{r}×10^{-7} [N/m]$$

이 공식을 사용합니다

공식에서 힘(전자력) F는

$r$에 반비례함을 알 수 있습니다

답은 ③번입니다

10

자계의 세기를 묻는데

정사각형이네요

정삼각형, 정사각형, 정육각형의 

자계의 세기는 $\frac{I}{πl}$이 공통이고

 앞에 숫자만 바뀐다고 했었죠

정사각형은 앞의 숫자가 $2\sqrt{2}$입니다 즉

 $$H=2\sqrt{2} \frac{I}{πl}$$

한변의 길이 $l=10[cm]=0.1[m]$ 

([m]단위로 바꿔야합니다)

전류 $I=10[A]$이므로

 $$H=2\sqrt{2} \frac{I}{πl}=2\sqrt{2} \frac{10}{π×0.1}=\frac{200\sqrt{2}}{π}$$

답은 ②번입니다

< 요약 >

문제가 많네요

공식이 많아 조금 힘들지만

반대로 공식만 알면 쉽게 풀립니다

단순하게 공식을 외우는것도 좋지만 

문제로 적용하는 연습을 많이 해보면

도움이 될 것 같네요

그럼 이것으로 8장 마무리하고

9장으로 다시 찾아뵙겠습니다

감사합니다!