[Lv2] 2장. 정전계 ② 전위(동심구도체)

 

안녕하세요!

Lv2 전위 포스팅 시작하겠습니다

 

지난 포스팅에서는

쿨롱의법칙과 전계의 내용을 복습하며

'전계의 단위([V/m])'에 대한 내용을

알아보았습니다

 

이번 글에서는

전위에 대한 내용을

살펴보려고 합니다

 

전위에 대해

Lv1에서 공부했던 내용을 복습하면

아래와 같습니다.

 

 

전위 문제에서

전하를 이동시킨다는 말이 나오면

V=Er 이라는 식을 사용하고

( 이 때의 V=Er은 기존의 전위에서 변화한

변화량을 나타낸다고 했었죠 )

 

그 외의 전위문제에서는

각 도체별 전위의 공식을

암기해야 한다는 내용이

있었습니다

 

 

( Lv1 전위내용이 궁금하시면 아래 링크를 참고하시면 됩니다 ) 

[Lv1] 2장. 정전계 ③ 전위와 전기력선

 

***

 

 

 

< 동심구도체의 전위 >

 

이번 Lv2에서는

여러 가지 도체 중에서

동심구도체(혹은 동심구)

에 대해 좀 더 자세히 알아보겠습니다

 

동심구도체는

중심이 같은 구도체란 의미로

구 안에 또 구가 있는 형태입니다

 

Lv1에서 동심구도체의 전위는

$$V=\frac{Q}{4πε_0} (\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$$

라고 했었는데요

 

엄밀하게는 동심구도체의

전위의 답이 되는 2가지 케이스가

있습니다

(실제로는 더 많지만 일반적으로 출제되는

케이스가 두 가지 경우입니다)

 

두 케이스를 쉽게 구분하기 위해

문제에서 주어지는

동심구도체에 대해 

조금 더 알아볼 필요가 있습니다

 

 

a,b,c가 나타내는 것이 무엇이고

구도체 2개가 어디서 어디까지를 나타내는지

처음엔 헷갈릴 수 있습니다

( 구도체 2개인데 a,b,c 3개가 

주어지는것도 그렇고

안쪽 구, 바깥쪽 구가 어느 부분까지인지

한번에 잘 와닿지 않을 수 있습니다)

 

이해를 위해 색깔을 구분해서

살펴보겠습니다

 

 

그림을 보면

붉은부분이 안쪽구

푸른색부분이 바깥쪽구 입니다

a는 안쪽구(내구)의 반지름을 나타내고

b는 바깥쪽구(외구)의 내반지름을

c는 바깥쪽구(외구)의 외반지름을

나타냅니다

 

안쪽구(내구)는 

마치 풍선형태로

표면이 얇은  구이고

 

바깥쪽구(외구)는 

b에서 c사이의 거리만큼의

두께를 가지는 구입니다

마치 수박 속을 다 파먹고 

껍데기부분만 남은 형태처럼

약간의 두께를 가지는 구인 것이죠

 

 

반지름 a 만큼에 해당하는 것이

안쪽구(혹은 내구)이고

반지름 b만큼과 c만큼에 해당하는 부분은

둘다 바깥쪽구(혹은 외구)에 해당함을

알 수 있습니다

(a에서 b사이는 빈 공간입니다)

 

이를 헷갈리지 않으면

지금부터 다룰 각 케이스별

동심구도체의 전위를

구분하는데 도움이 됩니다

 

 

전위를 물어보기 위해

문제에서 안쪽구 또는 바깥쪽구에

전하가 주어지는데요

(전하로 인해 생기는 전계를 

거스르는데 필요한 에너지가 전위이므로)

 

이 전하가 안쪽구와 바깥쪽구에 각각

어떻게 주어지냐에 따라

전위값이 달라집니다

 

(1) 안쪽구에만 +Q[C]의 전하를

대전시킨 상황

 

아래 그림의 A도체(안쪽 구도체)에

Q[C]의 전하를 주면

가만히 있던 B도체(바깥쪽 구도체)에

전하가 유도되는데

(이를 정전유도현상이라고 합니다)

 

B도체(바깥쪽 구도체, 외구)에서

+Q[C]과 가까운 안쪽에는

-Q[C]이 유도되고

 

이 -Q[C]에 의해

외구의 바깥표면은 

+Q[C]이 유도됩니다

 

 

푸른색 구도체의 +Q[C]와

-Q[C]가 전기적으로

균형을 이루게 되어 

바깥쪽 구는 결과적으로

0[C]이 됩니다

 

 

A도체(안쪽구도체)만 +Q[C]이 

주어지는 상황이 

해당 그림의 상황입니다

 

문제에서

안쪽 구도체에만 +Q[C]이 대전되었다

라고 표현할수도 있고

안쪽 구도체에 +Q[C], 바깥쪽 구도체에 0[C]을 주었다

라고 할 수도 있습니다

결과적으로 같은 의미임을

이해할 수 있습니다

 

이렇게 길게 언급한 것은

바깥쪽 구가 0[C]이라는 것이

접지시킨 게 아니라

안쪽 구만 대전된 상황임을

명확히 하기 위해서입니다

 

이 상황일 때의 안쪽구의 전위를

보통 물어보게 되는데

$$V=\frac{Q}{4πε_0} (\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$$

입니다

 

 

 

 

 

2) 안쪽 구에 +Q[C]을 대전시키고

바깥쪽 구에 -Q[C]을 대전시킨 상황

 

앞서 살펴본 상황은

안쪽 구의 +Q[C]에 의해

바깥쪽 구의 안쪽껍데기 부분엔

-Q[C]이 유도되고

바깥쪽 구의 바깥쪽껍데기는

+Q[C]이 유도되는 상황인데

 

바깥쪽구를 접지시킨다면

어떻게 될까요

 

바깥쪽구를 접지할 때는 

바깥쪽구의 바깥껍데기 부분을

접지하게 되는데

이러면 +Q[C]로 유도된 전하가

접지를 통해 0[C]이 됩니다

 

 

바깥쪽구의 안쪽껍데기는

그대로 -Q[C]인데

바깥쪽껍데기가 0[C]이 되니

원래 0[C]으로 균형을 이뤘던 게

깨지는 상황이 됩니다

 

-Q[C]과 +Q[C]이 합쳐서 0 [C]이었던 건데

-Q[C]과 0[C]을 합하게 되면

-Q[C]이 되는 거죠

 

결과적으로

바깥쪽 구도체는 -Q[C]로 

대전된 셈이 됩니다

 

문제에서

안쪽 구에 +Q[C], 바깥쪽 구에 -Q[C]을 대전시켰다

라고 표현하거나 

안쪽 구에 +Q[C]을 대전시키고 바깥쪽 구는 접지시켰다

라고 표현할 수 있는데

결과적으로 두 상황은 같은 상황임을

알 수 있습니다

 

해당 상황에서의

안쪽구의 전위를 물어볼 때가 있는데

$$V=\frac{Q}{4πε_0} (\frac{1}{a}-\frac{1}{b})$$

입니다

 

앞서 A도체(내구)에만 +Q[C]을 대전시켰을 때가

$V=\frac{Q}{4πε_0} (\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ 이었던것과 비교하면

끝에 $\frac{1}{c}$이 빠진 모양이네요

 

가장 바깥쪽 c 부분에 해당하는 쪽을

접지시켰으므로

c는 고려하지 않아도 되니 $\frac{1}{c}$은 없앤다라고

연상하시면 될 것 같습니다

 

 

 

요약하자면

전위를 물어봤는데

동심구도체 내용이라면

 

보통 안쪽구를 A도체

바깥쪽구를 B도체로 주어지는데

 

(1) A도체(안쪽 구, 내구)에만

Q[C]의 전하가 대전되었을 때

( = A도체(안쪽구, 내구)에 Q[C],

B도체에 0[C]의 전하가 대전되었을 때)

 

$$V=\frac{Q}{4πε_0} (\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$$

 

(2) A도체(안쪽 구, 내구)에 +Q[C],

B도체(바깥 구, 외구)에 -Q[C]가 대전되었을 때

( = A도체(안쪽 구, 내구)에 Q[C]가 대전되고

B도체(바깥 구, 외구)를 접지시켰을 때)

 

$$V=\frac{Q}{4πε_0} (\frac{1}{a}-\frac{1}{b})$$

 

라고 심플하게 구분해 주시면 되겠습니다

 

(시험에서 헷갈리면 그냥 Lv1에서 다루었듯이

$$V=\frac{Q}{4πε_0} (\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$$

를 찍는 게 답일 확률이 더 높습니다)

 

 

 

 

***

 

 

문제 풀어보겠습니다!

 

 

(문1)

(풀이)

 

전위를 물었는데

전하를 이동시킨다는 말이 나왔으면

V=Er을 활용한다고 했었습니다

 

이때

전계 방향으로 이동시키는지

전계 반대 방향으로 이동시키는지를

구분해야 하는데

 

전계 방향으로 이동시키면 전위가 감소하고

(즉, 원래 전위에서 Er만큼 감소하고)

전계 반대방향으로 이동시키면 전위가 증가합니다

(즉, 원래 전위에서 Er만큼 증가합니다)

 

문제에서 전계 방향으로 이동시킨다고 했으므로

원래 전위인 $80[V]$에서 Er만큼 감소하겠네요

$E$는 $30[V/m]$이고( 여기서도 [V/m] 단위가 나오네요 )

$r$은 이동거리, 즉 $80[cm]=0.8[m]$가 됩니다

( $r$은 [m]단위로 대입해야 합니다)

 

$$Er=30×0.8 =24$$

이므로 

$$V-Er=80-24=56[V]$$

 

 

답은 56[V]입니다

 

답) ④

 

 

 

 

(문2)

 

(풀이)

 

전위를 물었는데

동심구도체 문제네요

공식을 떠올린 후 숫자를

대입해야 하겠습니다

 

바깥쪽 도체, 즉 도체2의 전하가 0이라는 말은

도체1에만 전하가 주어진 상황과 같은 말입니다

( 접지된 것과는 다르다고 했었죠 ) 

 

동심구도체의 두 가지 케이스 중

 첫 번째 케이스입니다

$$V=\frac{Q}{4πε_0} (\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$$

가 되겠네요

 

공식에 대입만 하면 됩니다

 

$Q=4πε_0$ 이고

a,b,c가 각각 [m]단위로

a=0.1[m], b=0.15[m], c=0.2[m]이므로

$$V=\frac{Q}{4πε_0} (\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$$

$$=\frac{4πε_0}{4πε_0} (\frac{1}{0.1}-\frac{1}{0.15}+\frac{1}{0.2})$$

≒ 8.33333

 

보기를 각각 계산기로 계산해보면

① 1/12 ≒ 0.08333

② 13/60 ≒ 0.21666

③ 25/3 ≒ 8.33333

④ 65/3 ≒ 21.66666

 

답은 ③ 25/3 입니다

 

답) ③

 

 

 

 

(문3)

(풀이)

 

전위를 물었는데

동심구도체 문제네요

 

동심구도체의 전위는

두 가지 케이스 중 하나가 답이 되는데

해당 경우는 바깥쪽 구를 접지한

두 번째 케이스임을 알 수 있습니다

 

이 경우의 전위는

$$V=\frac{Q}{4πε_0} (\frac{1}{a}-\frac{1}{b})$$

입니다

 

 

답은 ②번입니다

 

답) ②

 

 

 

 

(문4)

(풀이)

 

전위를 물었는데

그림을 보니

동심구도체 문제네요

 

동심구도체에서

주로 답이 되는 케이스는

주어진 보기 중에서

② 또는 ④임을 알 수 있네요

 

그런데 이 문제에서는 두 케이스 중에

안쪽구에만 전하를 준 케이스인지

바깥구에 접지를 한 케이스인지

주어져있지 않습니다

 

전위계수 $P_{11}$을 물어보는

이 경우는 첫 번째 케이스의 답인

$$V=\frac{Q}{4πε_0} (\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$$

라고 암기하고 넘어가면 됩니다

 

전위계수는

둘 이상의 도체가 서로 상호작용할 때

각 도체의 전위와 전하값이 가지는 관계를

계산하는 내용으로 3장 초반부에

등장하는 내용인데

 

추후 기회가 되면 다뤄보겠습니다

동심구도체에서 전위계수 $P_{11}$을 물어보면 

$$V=\frac{Q}{4πε_0} (\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$$

가 답이 됨을 알고 넘어가면 됩니다

 

 

앞선 이론 설명에서

잘 모르겠으면

$\frac{1}{c}$ 이 포함된

$$V=\frac{Q}{4πε_0} (\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$$

를 고르자고 했었는데

 

일반적으로  주어지는 두 케이스 중

하나가 주어질 때는 첫 번째 케이스 즉,

안쪽 구에만 전하를 준 케이스가

답이 되는 경우가 많기도 하고

 

두 케이스가 아닌 경우에도

(지금처럼 전위계수 $P_{11}$를 물어보는 경우)

$$V=\frac{Q}{4πε_0} (\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$$

가 답이 되기 때문에

 

해당 보기를 답으로 체크하면 

정답이 될 확률이 높다는 것을

기억하면 도움 될 것 같습니다

 

답은 ④번입니다

 

답) ④

 

 

 

 

(문5)

(풀이)

 

이번 포스팅의

마지막 문제입니다

 

전위를 물었는데

동심구도체 문제네요

( 동심으로 놓고라는 말을 통해

알 수 있습니다 )

공식을 떠올린 후 숫자를

대입해야 하겠습니다

 

그림이 주어져있지 않지만

안쪽 구와 바깥쪽 구가 있는

동심구도체를

생각할 수 있습니다

 

도체구 B의 전하를 0으로 했을 때

라고 주어져있네요

동심구도체의 두 가지 케이스 중

첫 번째 케이스임을 알 수 있습니다

(접지하지 않고, 안쪽 구만 전하를 준 상황)

 

해당 케이스에서 전위는

$$V=\frac{Q}{4πε_0} (\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$$

라고 했었죠

 

$Q$ 대신에 $Q_A = 4 × 10^{-10} $을 

대입하고

 

반지름이 각각

4[cm], 5[cm], 10[cm]이니

[m]로 환산한 값으로 

a=0.04[m], b=0.05[m], c=0.1[m]를

대입해주면 되겠습니다

( 그림을 떠올려보면 

작은값부터 순서대로 a,b,c가 됩니다 )

 

 

$$V=\frac{Q}{4πε_0} (\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$$

$$V=Q× \frac{1}{4πε_0} (\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$$

 

$$=(4 × 10^{-10})× \frac{1}{4πε_0} (\frac{1}{0.04}-\frac{1}{0.05}+\frac{1}{0.1})$$

위 계산에서 $\frac{1}{4πε_0}=9×10^9$ 이므로

$$=(4 × 10^{-10})× 9 × 10^9 × (\frac{1}{0.04}-\frac{1}{0.05}+\frac{1}{0.1})$$

$=54$

 

답은 54[V]입니다

 

답) ④

 

 

 

 

***

 

 

< 요약 >

 

이번 포스팅 내용은

여기까지입니다

 

예전에 다루었던

V=Er에 대한 내용이 반복되고

동심구도체에 대한 내용이

조금 더 추가된 점을

기억하면 좋을 것 같습니다

 

다음 포스팅에서는 계속해서 2장

전기력선 등에 대한 내용을

다뤄보겠습니다

 

감사합니다!