[Lv2] 2장. 정전계 ④ 프와송. 라플라스. 쌍극자 및 정전계 전체 정리

 

 

안녕하세요!

Lv2 2장 정전계

마지막 포스팅입니다

 

이전 Lv1에서 학습했던

전기쌍극자에 대한 내용과

프와송. 라플라스 방정식 내용을

복습해보겠습니다

 

 

( Lv1 내용을 보시려면 아래 링크를 참고하시면 됩니다 )

[Lv1] 2장. 정전계 ④ 전기쌍극자와 프와송 방정식, 라플라스 방정식

 

 

- 전기쌍극자

 

전기쌍극자는 +Q[C], -Q[C]의

전하가 서로 δ [m] 만큼 떨어져있을 때

두 전하를 하나의 뭉탱이로 보고

(마치 N극, S극 자석을 하나로 보듯)

해석을 하겠다는 관점으로 보는 내용이었습니다

 

사실 전계와 전위에 대한

대표적 특징을 기억하면

대부분의 문제가 풀린다고 했었네요

 

 

$$E=\frac{M}{4πε_0 r^3}\sqrt{1+3cos^2 θ}$$

(여기서 M=Qδ 입니다)

 

(1) 전기쌍극자의 전계는

쌍극자모멘트 값에 비례하고

$r^3$에 반비례한다

 

(2) 전기쌍극자의

전계는 θ = 0 일 때 최대

 θ = 90 (또는 θ=$\frac{π}{2}$ 일 때) 최소

(느낌적으로 반대의 느낌으로

연상해주시면 됩니다

작을 때 최대, 클 때 최소)

 

$$V=\frac{M}{4πε_0 r^2}cosθ$$

 

 

(1) 전기쌍극자의 전위는

쌍극자모멘트 값에 비례하고

$r^2$에 반비례한다

( 전계는 3승, 전위는 2승(제곱)에 반비례)

 

(2) 전기쌍극자의

전위는 θ = 0 일 때 최대

 θ = 90 (또는 θ=$\frac{π}{2}$ 일 때) 최소

(전계의 경우와 동일)

 

 

 

전기쌍극자의 내용을

리뷰해보았습니다

 

 

 

 

- 프와송 방정식, 라플라스 방정식

 

전하의 분포와 전위의 관계를

나타내는 식인데

방정식의 모양만 기억해도

풀리는 문제가 많다고 했었습니다

 

 

프와송 방정식(푸와송, Possion 등으로도 표현)은

$$∇^2 V = - \frac{ρ_v}{ε_0}$$

 

($ρ_v$와 $ε_0$이 분자분모 바뀌면 안되고

앞에 마이너스(-)부호가 붙는게

중요한 특징이었죠

분자분모가 바뀌거나

마이너스가 빠지면 틀린 보기입니다)

 

라플라스 방정식은

$$∇^2 V = 0$$

 

라플라스 방정식은 

'선형'이라는게 중요한 특징입니다

( '비선형' 이라고 하면 틀린 보기입니다)

 

 

 

내용 자체는 이전에 다룬것과 동일합니다

관련 문제만 추가로 풀어보고

마무리하겠습니다

 

 

 

(문1)

(풀이)

 

전계의 세기를 물었는데

전기쌍극자 관련이네요

 

전기쌍극자 하면 떠오르는

전계와 전위의 특징을 떠올리면

대부분의 전기쌍극자문제가 풀립니다

전계를 물었으니 전계의 특징을

리마인드해보면

 

$$E=\frac{M}{4πε_0 r^3}\sqrt{1+3cos^2 θ}$$

 

(1) 전기쌍극자의 전계는

쌍극자모멘트 값에 비례하고

$r^3$에 반비례한다

 

 

(2) 전기쌍극자의

전계는 θ = 0 일 때 최대

 θ = 90 (또는 θ=$\frac{π}{2}$ 일 때) 최소

 

이중 (1)의 특징을

참고하면

 

전계의 세기는 

$r^3$에 반비례함을

알 수 있습니다

( 전위는 $r^2$에 반비례합니다)

 

답은 ④번입니다

 

답) ④

 

 

 

(문2)

(풀이)

 

전기쌍극자 라는 말이 보이니

전기쌍극자 하면 떠오르는

전계와 전위의 특징을 떠올리면

대부분의 전기쌍극자문제가 풀립니다

전계를 물었으니 전계의 특징을

리마인드해보면

 

(1) 전기쌍극자의 전계는

쌍극자모멘트 값에 비례하고

$r^3$에 반비례한다

 

(2) 전기쌍극자의

전계는 θ = 0 일 때 최대

 θ = 90 (또는 θ=$\frac{π}{2}$ 일 때) 최소

 

이중 (2)의 특징을

참고하면

 

전계는 90도에서

가장 작음을 알 수 있습니다

 

( 주어진 문제가

원점이 어떻고 x축과 y축이 어떻고라고 

복잡하게 생각될 수 있으나

전기쌍극자에선 어떤 부분이

문제화 되고 답이 되는지를 알면

보자마자 답을 골라낼 수 있습니다 

 

어렵게 응용되는 것도 출제될수 있으나

전기자기학 문제의 제법 많은 부분이

말은 새롭게 응용된 내용인것 같지만

결국 물어보는 것은 기본적인 내용임을

 공부할수록 느낄수 있습니다 )

 

답) ④

 

 

 

 

(문3)

 

 

(풀이)

 

마지막 문제입니다

식 중에 틀린 식을 고르라고 하는데

우리가 다룬 게 포아송 방정식과 라플라스 방정식이니

두 개 중에 잘못된 것이 있는지 찾아보면

 

② 포아송 방정식은

$$∇^2 V = - \frac{ρ_v}{ε_0}$$

인데 마이너스 부호(-)가 빠졌으니

잘못된 보기입니다

 

③ 라플라스 방정식은

$$∇^2 V = 0$$

맞습니다

( 라플라스 방정식은

식 자체를 틀리게 주는 경우보다

틀린 설명을 고르는 문제에서 

'라플라스 방정식은 비선형이다'

라고 하는 경우가 많다고 했었죠.

라플라스 방정식은 '선형' 임을 기억합시다 )

 

답은 ②번입니다

 

답) ②

 

 

 

***

 

 

Lv2 2장 내용은

여기서 마무리가 되는데요

 

Lv2에서 추가로 살이붙는내용과

반복되는 내용을 구분해서

전체 그림을 가져가는 것이 

중요할 것 같네요

 

2장의 전체 내용을

목차로 보며 정리해보겠습니다

 

 

 

2장은 정전계라는 챕터로

'안정적' 이고 '가장 에너지가 최소' 라는 

키워드를 기억하자고 했었습니다

 

2장을 Lv1에서 크게   

 

                                                 ➀  쿨롱의법칙     

                                                 ➁  전계 

                                                 ➂  전위와 전기력선   

                                                 ➃  전기쌍극자와 프와송방정식, 라플라스방정식

 

의 네 가지 챕터로

나누어 다루었습니다

 

Lv2에서 추가된 내용을 

표시해보면

 

                                                ➀ 쿨롱의법칙

                                                ➁ 전계

                                                   ㄴ 단위[V/m] (절연내력)

                                                ➂ 전위와 전기력   

                                                    ㄴ 동심구도체의 전위

                                                    ㄴ 전기력선 추가특징, 전기력선과 전속선의 개수         

                                                ➃  전기쌍극자와 프와송방정식, 라플라스방정식

 

 

이렇게 표시할 수 있겠네요

 

개별 내용들을 잘 기억함은

물론이고

 

반복되는 내용과 추가되는 내용을

구분해서 저렇게  목차별로 나눠

어떤 내용이 있는지 복습해보는것도

도움이 될 거라 생각합니다

 

이론적인 내용은 물론이고

어떤 문제가 있었고

해당 문제들을 어떤 키워드와 공식을 통해

풀이할 수 있는지를 반복해서 보면

어느 순간 감이 오실 거라 기대합니다

 

 

각 목차별 내용을 전체적으로 정리하고

2장 포스팅으르 마치겠습니다

 

 

  

 

 

Lv2 2장 포스팅은

여기까지입니다

 

Lv2 내용을 다루기는 하지만

Lv1의 내용이 가장 중요하다고

생각합니다

 

반복되는 Lv1 내용과 더불어

추가되는 Lv2 내용을 구분해

효율적인 학습이 가능하도록

노력해보겠습니다!

 

오랜만의 포스팅이라

속도도 더디고

도움이 되실지 모르겠네요

 

할 수 있는대로 

꾸준히 도움될만한 내용으로

포스팅할 수 있게 노력하겠습니다

 

공부하시는 분들

모두 화이팅입니다!

 

다음 포스팅은

3장 도체계의 첫 내용인

정전용량에 대한 내용을

다뤄보겠습니다

 

감사합니다