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[Lv2] 3장. 도체계 ① 도체별 정전용량전기기사/Lv2 전기자기학 2024. 5. 9. 14:42
안녕하세요!
Lv2 전기자기학 3장으로 넘어왔네요
3장은 도체계라는 제목으로
둘 이상의 도체가
상호작용하며 생기는 내용을
살펴봤었습니다
각 도체 간의 상호작용으로 인해
발생하는 대표적인 것이
'전하의 축적' 개념이고
각 도체가 전하를 축적하는
능력을 '정전용량' 이라는 개념으로
나타냈었습니다
Q=CV 라는 정전용량의 기본식을
다루었고
각 도체가 가지는 정전용량 공식을
Lv1에서 학습했었는데
간단히 복습하면 아래와 같습니다
( ε는 공기나 진공중에서는 $ε_0$로 사용하고
기타 유전체에서는 비유전율이 $ε_s$일 때
$ε=ε_0 ε_s$로 계산하는 것임을 알고 계실 것입니다 )
Lv1에서도
다루었던 내용이지만
좀 더 많은 문제를 풀면서
도체별 정전용량 공식을
숙달해보면 좋을 것 같습니다
( Lv1 정전용량 내용은 아래 링크를 참고하시면 됩니다 )
***
문제 풀어보겠습니다
문제가 좀 많네요..ㅎㅎ
(문1)
(풀이)
정전용량을 묻는 문제네요
도체별 정전용량 공식을 떠올려봅시다
'독립 금속구' 라고 되어있는데
어쨌든 구 모양 도체
즉, 구도체(도체구)의
정전용량을 묻는 거니깐
구의 정전용량인
$C=4πε_0 a$
를 답으로 고르면 됩니다
답) ②
(문2)
(풀이)
정전용량을 계산하는 문제인데
중공동심 도체구라는 단어가 보이네요
동심도체구, 동심구도체로 보면됩니다
동심구도체의 정전용량 공식은
$$\frac{4πε_0}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}$$
$$=\frac{4πε_0 ab}{b-a}$$
a=2[cm]=0.02[m], b=4[cm]=0.04[m]이므로
대입해서 계산해주면 됩니다
$$\frac{4πε_0}{\frac{1}{0.02}-\frac{1}{0.04}}$$
$$=\frac{4×3.14×8.855×10^{-12}}{25}$$
$$ ≒ 4.45×10^{-12}$$
[pF] 단위로 물었으므로
$$ 4.45×10^{-12}×10^{12}≒4.45 [pF]$$
답) ①
(문3)
(풀이)
정전용량 계산문제입니다
동심원통이라는 단어가 보이네요
동심원통의 정전용량 공식은
$$\frac{2πε_0}{ln\frac{a}{b}} [F/m]$$
또는
$$\frac{2πε_0 ℓ}{ln\frac{a}{b}} [F]$$
인데
'단위길이당' 이라는 말이없고
구하는 정전용량의 단위가
[F/m]가 아니라 [F] 입니다
( [pF]의 p는 $10^{-12}$ 입니다)
원통의 길이( ℓ )가 50[cm]=0.5[m]로
주어져있으므로
위의 두 식중 아래쪽의 식을 채택하여
대입해주면 됩니다
( 문제에 주어진 전하 + λ, -λ는
공식에 없으니 신경안써도 됩니다 )
$$\frac{2πε_0 ℓ}{ln\frac{a}{b}}$$
$$=\frac{2πε_0 ×0.5}{ln\frac{0.02}{0.01}}$$
$$=\frac{πε_0}{ln2}$$
$ln2$는 계산기로 누르면되고
$πε_0$ 을 계산하는 방식이
여러가지가 있을 수 있는데
$π≒3.14$이고
$ε_0=8.855×10^{-12}$ 이므로
둘을 곱해주면 대략
$2.78×10^{-11}$이 됩니다
또는
$$\frac{1}{4πε_0}=9×10^{9}$$
이므로
$$\frac{1}{πε_0}=4×9×10^{9}=36×10^{9}$$
$$πε_0 =\frac{1}{36×10^{9}}$$
$$≒ 2.78×10^{-11}$$
이 됩니다
편한 방법대로 하면 됩니다
$$\frac{πε_0}{ln2}$$
$$=\frac{2.78×10^{-11}}{ln2}$$
$$≒ 4.01×10^{-11}$$
구하는 단위가 [F]가 아니라 [pF] 이므로
$10^{12}$를 곱해주면
$$ 4.01×10^{-11}×10^{12}$$
$$= 4.01×10 ≒ 40[pF]$$
답) ③
(문4)
(풀이)
정전용량 공식을 묻는 문제인데
어떤 도체인지 봤더니 '동심구도체'네요
동심구도체의 정전용량은
$$\frac{4πε_0}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}$$
$$=\frac{4πε_0 ab}{b-a}$$
둘중에 하나가 보이면
답으로 고르면 됩니다
해당하는 보기가
②번에 보이네요
쉽게 골라낼 수 있습니다
넘어가기전에 아래에
잠깐 참고용 추가설명을 덧붙일텐데
해당내용은 이해가 안되면
다음 문제로 넘어가도 무방합니다
- 추가 내용 -
내부 도체구에 +Q[C]을 주고
외부 도체구에 -Q[C]을 줬다는
문장과 그림이 익숙하게
느껴지시는지요
2장의 동심구도체 전위를
구하는 두 가지 유형에서
두 번째 유형에 해당한다는것을
떠올려볼 수 있습니다
( 해당 내용은
위 포스팅에서 다루었던 내용입니다 )
동심구도체의 전위를
구하는 유형은
아래와 같이 구분된다고 했었습니다
(1) A도체(안쪽 구, 내구)에만
Q[C]의 전하가 대전되었을 때
( = A도체(안쪽구, 내구)에 Q[C],
B도체에 0[C]의 전하가 대전되었을 때)
$$V=\frac{Q}{4πε_0} (\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$$
(2) A도체(안쪽 구, 내구)에 +Q[C],
B도체(바깥 구, 외구)에 -Q[C]가 대전되었을 때
( = A도체(안쪽 구, 내구)에 Q[C]가 대전되고
B도체(바깥 구, 외구)를 접지시켰을 때)
$$V=\frac{Q}{4πε_0} (\frac{1}{a}-\frac{1}{b})$$
내부 도체구에 +Q[C]을 주고
외부 도체구에 -Q[C]을 줬다는 말은
둘중에 아래쪽 2번째 유형에
해당하는 것이네요
Q=CV라는 식에서
$$C=\frac{Q}{V}$$
$$=\frac{1}{V}×Q$$
V 대신 $V=\frac{Q}{4πε_0} (\frac{1}{a}-\frac{1}{b})$를 넣으면
$$\frac{4\pi\epsilon _0}{Q} \frac{1}{(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})}\times Q $$
$$= \frac{4πε_0}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}$$
으로 우리가 아는 정전용량 공식이
유도됩니다
동심구도체의 정전용량 공식
$$\frac{4πε_0}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}$$
$$=\frac{4πε_0 ab}{b-a}$$
이 공식을
내부에 +Q[C], 외부에 -Q[C]을 준 상황에서의
전위공식($V=\frac{Q}{4πε_0} (\frac{1}{a}-\frac{1}{b})$)을 통해
유도할수 있습니다
(정전용량 공식에 $\frac{1}{c}$이 빠져있는것을 통해서
전위공식 중 어떤 유형의 공식에서 유도한 것인지
쉽게 추측가능합니다 )
잘 모르겠다면
해당문제 답만 골라내고
넘어가도 무방합니다
굳이 언급한 것은
2장의 동심구도체 전위와
3장의 동심구도체의 정전용량 공식은
반복적으로 출제되므로
이렇게 서로 연관짓고 공식이
어떻게 나왔는지를 이해하면
공식 암기에 도움이 됨을
말하고자 함이었습니다
- 추가 내용 끝 -
답은 ②번입니다
답) ②
(문5)
(풀이)
정전용량 계산 문제네요
평행판콘덴서의 정전용량 공식은
$$C=\frac{ε S}{d}$$
입니다 ( $ε=ε_0 ε_s$ )
보통은 평행판콘덴서가
직사각형으로 주어지기에
$C=\frac{ε S}{d}$의 S에 해당하는
넓이를 구하기 위해서는
직사각형의 가로길이×세로길이 를 이용하는
경우가 많은데
주어진 문제에서는
원판이라는 말이 있습니다
원 모양으로 되어있으므로
원의 넓이를 구해주어야 합니다
원의 넓이는
$πr^2$ , 즉 $π×(반지름)^2$으로 구하므로
반지름 r = 30[cm] = 0.3[m] 이므로
$S=πr^2=π×(0.3)^2$
≒0.2826
$$C=\frac{ε S}{d}$$
에서
$ε_0=8.855×10^{-12}$ $ε_s=4$
$d=0.1[cm]=0.001[m]$ $S≒0.2826$
이므로 각각 대입해주면
$$C=\frac{ε S}{d}=\frac{8.855×10^{-12} ×4 ×0.2826}{0.001}×10^{6}$$
( 계산값은 [F] 단위인데
구하는 정전용량의 단위가 [μF]이므로
계산값에 $10^{6}$을 곱해줘야 합니다 )
계산기로 계산하면
약 0.01이 나옵니다
답) ①
(문6)
(풀이)
정전용량을 계산하는 문제인데
'동심구'에 대한 문제네요
동심구(동심구도체)의 정전용량 공식은
$$\frac{4πε}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}$$
$$=\frac{4πεab}{b-a}$$
입니다
둘중 편한식을 사용하면 됩니다
둘중 첫 번째 식을 사용하여 대입해보겠습니다
$a=\frac{1}{4πε}×10^{-2}$, $b=\frac{1}{πε}×10^{-2}$ 이므로
$\frac{1}{a}=4πε×10^{2}$, $\frac{1}{b}=πε×10^{2}$가 되고
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=(4πε×10^{2})-(πε×10^{2})=3πε×10^{2}$
$$\frac{4πε}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}=\frac{4πε}{3πε×10^{2}}=\frac{4}{3}×10^{-2}$$
답) ④
(문7)
(풀이)
정전용량을 묻는 문제인데
평행하게 배치된 원통 2개라고 하면
평행도선의 공식을 활용합니다
( 원통이라는 말이 있지만
'동심'원통이 아니므로
평행한 두 도체의
공식을 적용해야 합니다 )
평행한 두 도체 사이 정전용량은
$$\frac{πε_0}{ln\frac{D}{r}} [F/m]$$
입니다
여기서 r은 도체의 반지름
D는 두 도체 사이 거리를 나타냅니다
그러면 문제에서 반지름 r=a, 거리 D=d 이므로
$$\frac{πε_0}{ln\frac{d}{a}} [F/m]$$
그런데 보기를 봤더니
일치하는 보기가 없습니다
답부터 살펴보면
②번이 답이 되는데요
원래 평행도선 사이 정전용량 공식은
$$\frac{πε_0}{ln\frac{d-a}{a}} [F/m]$$
가 되는데
평행도선 사이의 정전용량
공식을 유도하는 과정을 찾아보면
두 도선 사이 거리 d가
각 도선의 반지름 a보다 훨씬 크다고
가정합니다( d ≫ a )
d-a에서 d에 비해 a가 거의 없다시피하므로
d-a를 계산하나 d만 가지고 계산하나
결과값에는 큰 차이가 없어 d-a 대신 d로
대체하게 되어 공식이 약간 간소화된 것입니다
따라서 우리가 다루었던 식
$$\frac{πε_0}{ln\frac{d}{a}} [F/m]$$
혹은
$$\frac{πε_0}{ln\frac{D}{r}} [F/m]$$
라는 식이 나오게 됩니다
이 식을 따로 암기하기보다는
원래 암기했던 공식의 모양을 기억하고 있다면
②번 아니면 ④번이 답의 모양에 가깝다는것을
먼저 떠올리고
$$\frac{πε_0}{ln\frac{거리}{반지름}} [F/m]$$
형태인것과
거리 r이 반지름 a보다 훨씬 크다는것을
떠올리면 d-a가 어디에 들어갈지
판단하는데 도움이 될거라 생각합니다
답) ②
(문8)
(풀이)
마지막 문제입니다
정전용량을 계산하는 문제인데
동심구라는 말이 보이네요
동심구(동심구도체)의 정전용량 공식은
$$\frac{4πε}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}$$
$$=\frac{4πεab}{b-a}$$
입니다
공기로 채워졌다고 했으니 $ε=ε_0$입니다
a=5[cm]=0.05[m] , b=10[cm]=0.1[m] 이네요
둘 중 위쪽 식에 대입해보겠습니다
$$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{0.05}-\frac{1}{0.1}=20-10=10$$
이므로
$$\frac{4πε_0}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}=\frac{4πε_0}{10}$$
π=3.14 , $ε_0 =8.855×10^{-12}$을 대입하고
계산기로 계산하면
$$\frac{4×3.14×8.855×10^{-12}}{10}=1.11×10^{-11}$$
또는
$$4πε_0=\frac{1}{9×10^9}$$
이므로
$$\frac{4πε_0}{10}=\frac{1}{9×10^9×10}=\frac{1}{9×10^{10}}=1.11×10^{-11}$$
로 계산할수도 있습니다
[pF] 단위로 물어보았으므로
$10^{12}$을 곱해주면
$1.11×10^{-11}×10^{12}=1.11×10=11.1$
답은 11.1 [pF] 입니다
답) ①
***
<요약>
이번 3장 첫 포스팅은
여기까지입니다
기존에 살펴봤던 공식들을
더 많은 문제들과 함께 살펴보며
추가적인 세부내용을
조금 더 살펴봤습니다
다음 포스팅에서는
콘덴서의 연결 부분을
복습해보고
콘덴서의 절연파괴와 내압에
대한 내용을 다루어보려고 합니다
문제가 많아 좀 길어졌는데
긴 포스팅 읽고 따라오시느라
고생많으셨습니다
감사합니다!
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