[Lv2] 4장. 유전체 ② 분극(분극의 세기, 분극률, 비분극률)

 

 

 

 

 

 

안녕하세요. Lv2 전기자기학 4장
2번째 내용 시작하겠습니다

4장은 진공이나 공기가 아닌 

유전체에 대해
다루는 챕터라고 했고

 

지난 포스팅에서는 특별히

평행판 콘덴서 사이에

판 간격의 절반을 나누어

유전체로 채우는 상황에

대한 내용을 문제로 숙달하는

과정을 다루었습니다

계속해서 평행판콘덴서 사이에 

유전체를 집어넣는 상황을 

살펴보려고 하는데요. 

 

지난번 글에서는 이때의 

정전용량을 구하는 과정을 

공부했다면 이번 글에서는

 '분극현상' 이라는 것에 대해

알아보려고 합니다

 

 

 

***

 

다시 한번 평행판콘덴서에 대해 살펴보면

그림과 같이 

콘덴서에 전원을 연결해주면

(즉, 전압을 걸어준다면) 

판의 한쪽에는 (+)전하,

반대쪽에는 (-)전하가

 모이게 되는 것이 

지금까지의 학습을 통해 

알고 있는 내용일 것입니다

여기서 3장에서 평행판 콘덴서의

전계에 대해 학습한 내용을

 떠올려본다면 전계의 방향은 

(+)전하가 모인 극판에서

(-)전하가 모인 극판 쪽으로 

향한다는 것을 알 수 있습니다. 

 

(+)전하가 모인 극판에서

(-)전하가 모인 극판으로

전계가 형성될 것이고

이에 따라, 전기력선의 묶음인 

전속의 방향도 자연스럽게 

전계와 같은 방향이 될 것이고 

단위 면적당 전속을 의미하는 전속밀도

역시 전계와 같은 방향을 가짐을 

생각할 수 있습니다

 

이 상태에서 비유전율이 $\varepsilon _s$인 

유전체를 판과 판 사이에 삽입하면

유전체 내부는 어떻게 될지를 보면

(+)전하가 모인 판과 가까운 쪽에는 

(-)전하가 끌려오고
(-)전하가 모인 판과 가까운 쪽에는 

(+)전하가 끌려오게 되는데요

 

무작위로 배열되어 있던 

중성 상태의 유전체가

외부 전계의 영향으로

유전체 내 전하가 규칙적으로

배열되게 되는 것입니다

 

 

이때 중간의 인접한 (+)전하와 (-)전하는

전기적으로 상쇄되는 것 같은 효과가 되어

마치 양 쪽 끝부분에만 각각

전하가 분포하는 것과 같이 되는데

이를, 극이 나뉘어진다는 의미로

분극이라고 합니다

 

 

결과적으로 

판 사이에 넣은 유전체의 양끝에 

(+)와 (-)가 각각 유도된다는 것을 알면 되는데, 

이를 유전체의 분극 현상이라고 합니다. 

 

판과 판 사이에 전속밀도가

(+)에서 (-)로 향하는 방향을 가짐을

위에서 봤었죠

이때 분극이 발생한 유전체도 

(+)와 (-)가 나눠져 있으니
유전체 내에서도 역시 

(+)에서 (-)방향으로

전속밀도가 발생합니다

 

분극에 의해 유전체에 발생하는

전속밀도를 특별히

'분극의 세기' 또는

'분극전하밀도' 라고 합니다

(기호로 P를 사용합니다)

 

( 유전체의 표면전하밀도 라고도

표현합니다. 문제에서 살펴보겠습니다 )

 

 

 

***

 

 

* 전속밀도와 분극의 세기의 단위$[C/m^2]$

 

전기력선의 묶음인 전속은

그 개수가 전하량 Q에 의해

결정된다고 했었습니다

 

그러한 전속을 면적으로 나눈 것이

전속밀도이니까

전속밀도의 단위는

전하량 Q의 단위인 [C] 에서

면적의 단위인 $[m^2]$을 나눈

$[C/m^2]$이 되는데요

 

분극현상에 의해 유전체에서 발생하는

전속밀도를 특별히 '분극의 세기' 혹은

'분극전하밀도' 라고 생각하면 된다고 했으니

해당 물리량의 단위는 전속밀도와 같이

$[C/m^2]$ 임을 받아들일 수 있습니다

 

전속밀도와 분극의 세기의 단위 $[C/m^2]$를

챙기고 다음 내용으로 넘어가겠습니다

 

 

 

 

***

 

 

< 분극의 세기 P 공식 >

 

 

유전체 내에 형성된 전계와 전속밀도는
판과 판 사이에서 형성된 전계와 전속밀도와 

반대 방향임을 알 수 있는데요

 

따라서 유전체만 있을 때의 전속밀도(D)보다

분극에 의한 전속밀도(P)는

유전체 내부와 외부에서

서로 상쇄되는 만큼 약간

더 작은 값을 가짐을 알 수 있습니다

 

 

 

이를 공식으로 나타내면

비유전율이 $\varepsilon _s$인 유전체에서

$D=\varepsilon _0 \varepsilon _s E$ 이고

$$P= \varepsilon _0 (\varepsilon _s -1) E$$

입니다

 

분극의 세기 P는 

전속밀도 D의 공식에서

$\varepsilon _s$를 $\varepsilon _s -1$로

바꾼 모양임을 기억하면 됩니다

 

분극의세기 또는 분극전하밀도(P)는

전속밀도(D)보다 약간 작다 라고

얘기한 것을 떠올리면

공식을 쉽게 기억할 수 있으리라

생각합니다

 

( 자세한 유도 및 증명은

유전체 내부와 외부의 전계를 구분해

설명해야 하는 부분인데

 

추후에 기회가 되면

다루어 보겠습니다 )

 

 

 

 

해당 공식을 기본으로

여러 가지로 변형할 수 있는데요

 

$$P= \varepsilon _0 (\varepsilon _s -1) E =  \varepsilon _0  \varepsilon _s E -  \varepsilon _0 E$$

$$=D-  \varepsilon _0 E$$

 

로 표현할 수도 있고

 

$D=\varepsilon _0 \varepsilon _s E$ 에서 $E=\frac{D}{ \varepsilon _0 \varepsilon _s }$ 이므로

$$P= \varepsilon _0 (\varepsilon _s -1) E = \varepsilon _0 (\varepsilon _s -1) \times \frac{D}{ \varepsilon _0 \varepsilon _s } = \frac{\varepsilon _s -1}{\varepsilon _s} \times D$$

$$=D(1-\frac{1}{\varepsilon _s})$$

 

이렇게 표현할 수도 있습니다

 

 

결과적으로

분극의 세기 공식을 정리하면

 

$$P= \varepsilon _0 (\varepsilon _s -1) E$$

$$= D-  \varepsilon _0 E$$

$$=  D(1-\frac{1}{\varepsilon _s})$$

의 세 가지 형태입니다

 

 

 

 

***

 

 

* 분극률($χ$)과 비분극률($χ_e$)

 

 

위의 세 가지 형태의 식 중

$P= \varepsilon _0 (\varepsilon _s -1) E$ 이 식에서

 

전계 E를 제외한

$\varepsilon _0 (\varepsilon _s -1)$ 이 부분을

 

분극률이라고 하고, χ 라고 표기합니다

$χ =\varepsilon _0 (\varepsilon _s -1)$  인 것이죠

(그리스 문자로 '카이' 라고 읽습니다)

 

분극률은 '분극이 잘되는 정도' 라고

보시면 됩니다

분극률이 크면 그만큼 

분극이 잘 일어나고 

분극의 세기가 크다고 생각하면 됩니다

 

분극의 세기를

$$P= \varepsilon _0 (\varepsilon _s -1) E = χE$$

이렇게 표현할 수도 있겠네요

 

분극률 $χ =   \varepsilon _0 (\varepsilon _s -1)$에서

$\varepsilon _0$는 진공, 공기의 유전율 값으로

고정되어 있으므로

분극률은 $(\varepsilon _s -1)$ 값에 의해

결정되겠네요

 

이 값을 비분극률이라고 합니다

책마다 $χ_e$나 $χ_r$ 등으로 표현합니다

 

비유전율에서 '비'가

비율의 비를 뜻하는 것과

마찬가지로 $\varepsilon _0$의 몇 배인지를

나타내는 값이라 생각하면 됩니다

 

최종적으로 분극의 세기 공식은

 

$$P= \varepsilon _0 (\varepsilon _s -1) E = χ E$$

$$= D-  \varepsilon _0 E$$

$$=  D(1-\frac{1}{\varepsilon _s})$$

이 되고

 

$χ = \varepsilon _0 (\varepsilon _s -1)$ : 분극률,

$χ_e = \varepsilon _s -1$ : 비분극률

이 됩니다

 

 

이해를 돕기 위해 장황하게

그림과 함께 설명했지만

 

결론적으로
 '분극'이라는 키워드와 함께
위 공식을 기억하면 끝입니다

 

문제에 '분극'이라는 말이 나오면 

위 식을 떠올리면 

답을 찾기 어렵지 않습니다

 

계산도 나오지만 

공식 자체를 물어보는 문제나

공식을 변형하여 답을 구하는

문제가 주로 나옵니다

 

예제 한번 살펴보겠습니다

 

 

(예제)

 

 

(풀이)

전계, 전속밀도, 분극의 세기의

관계를 묻는 문제네요

 

분극의 세기 공식을 떠올려보면

$$P= \varepsilon _0 (\varepsilon _s -1) E = χ E$$

$$= D-  \varepsilon _0 E$$

$$=  D(1-\frac{1}{\varepsilon _s})$$

이 됩니다

 

P는 D보다 약간 작다 라는 

내용을 떠올리면

공식을 떠올리기가

좀 더 수월하다고 했었습니다

$$D-  \varepsilon _0 E$$

가 바로 보이네요

 

 

답은 ②번입니다

 

답) ②

 

공식을 암기하면

쉽게 풀리는 문제가 많습니다

문제로 연습해 봅시다

 

 

 

***

 

 

(문1)

 

(풀이)

 

분극의 세기를 물어보네요

분극의 세기 공식을

떠올려봅시다

 

$$P= \varepsilon _0 (\varepsilon _s -1) E = χ E$$

$$= D-  \varepsilon _0 E$$

$$=  D(1-\frac{1}{\varepsilon _s})$$

 

보기에 비슷한 모양이 보이네요

이 문제는 비유전율이 $\varepsilon_r$로

주어졌으므로

 

$D(1-\frac{1}{\varepsilon _r})$ 의 모양인 

③번이 답이 되네요

 

베이클라이트가 뭔지 몰라도

분극의 세기 공식만 알면

답을 고를 수 있습니다

 

답) ③

 

 

 

(문2)

 

 

(풀이)

 

분극의 세기라는 말이 나왔으니

해당 공식을 떠올려봐야 합니다

 

$$P= \varepsilon _0 (\varepsilon _s -1) E = χ E$$

$$= D-  \varepsilon _0 E$$

$$=  D(1-\frac{1}{\varepsilon _s})$$

 

② 번 보기에

$$D-  \varepsilon _0 E$$

가 보이네요

 

답) ②

 

 

 

(문3)

 

 

 

 

(풀이)

 

분극률이 몇 배인지

물어보는 문제입니다

 

분극률이 무엇인지부터

기억해야 하는데

 

우선 분극이라는 말을 보고

분극의 세기 공식을 떠올려보면

$$P= \varepsilon _0 (\varepsilon _r -1) E = χ E$$

$$= D-  \varepsilon _0 E$$

$$=  D(1-\frac{1}{\varepsilon _r})$$

 

였죠. 여기서 

$χ = \varepsilon _0 (\varepsilon _r -1)$ 를

분극률로 정의한다고 했습니다

 

그리고 $\varepsilon _r -1$를

비분극률이라고 하고 $χ_e$ 또는 $χ_r$ 등으로

표현한다고 했었죠. 

 

분극률이

진공의 유전율인 $\varepsilon _0$에서

비분극률인 $\varepsilon _r -1$ 만큼

곱해진 값이므로

 

비분극률 $\varepsilon _r -1$ 은

진공의 유전율의 몇 배인지를

나타냅니다

 

문제에서 물어보는 게

분극률이 진공의 유전율의

몇 배인지를 물어봤으니

비분극률을 물어본 문제인 것입니다

 

$$χ_r = \varepsilon _r -1$$

    $$= 4 -1 = 3$$

 

 

문제를 다시 보면

다음과 같이 풀이할 수 있네요

 

 

답은 ②번입니다

 

답) ②

 

 

 

(문4)

 

 

(풀이)

 

유전체의 표면전하밀도를

물어보는 문제네요

 

단위가 $[C/m^2]$인데

전속밀도 D의 단위도

분극의 세기 P의 단위도 $[C/m^2]$이므로

둘 중에 어떤 걸 묻는지

헷갈릴 수 있는데

 

주어진 문제의 상황을 보면

단독으로 존재하는 어떤 도체가 아니라

이미 존재하는 전계 내에

유전체를 놓는 상황이므로

 

이번 포스팅에서 살펴본

분극의 세기를 묻는 문제로

해석해 주시면 됩니다

 

분극의 세기를 분극전하밀도

혹은 이렇게 표면전하밀도로

표현하기도 함을 챙겨가면 좋겠네요

 

분극의 세기 공식을 떠올려보면

$$P= \varepsilon _0 (\varepsilon _r -1) E = χ E$$

$$= D-  \varepsilon _0 E$$

$$=  D(1-\frac{1}{\varepsilon _r})$$

 

이 중 비유전율($\varepsilon _r$)과 전계(E)가

주어져 있으므로

$P= \varepsilon _0 (\varepsilon _r -1) E$에 대입해 보면

 

$$P= \varepsilon _0 (\varepsilon _r -1) E$$

$$= \varepsilon _0\times (10-1) \times 5$$

$$=\varepsilon _0\times 45 = 45  \varepsilon _0$$

 

답은 ②번입니다

 

답) ②

 

 

 

 

(문5)

 

 

(풀이)

 

분극의 세기를 물어보는데

답의 보기가 숫자로 나오는 걸 보니

계산 문제네요

 

분극의 세기라는 말이 보이니

공식을 떠올려봅시다

$$P= \varepsilon _0 (\varepsilon _r -1) E = χ E$$

$$= D-  \varepsilon _0 E$$

$$=  D(1-\frac{1}{\varepsilon _r})$$

 

이 중 문제에서 주어진 게

비유전율 $\varepsilon_s$와 전계 E이므로

$$P= \varepsilon _0 (\varepsilon _r -1) E$$

를 사용할 수 있습니다

 

$$P= \varepsilon _0 (\varepsilon _r -1) E$$
$$=8.855 \times10^{-12}\times(6-1)\times10^4 =44.275\times10^{-8}$$
$$≒ 4.42\times10^{-7}$$

 

각 보기를 소수점 계산 해보면

 

① $\frac{1}{36\pi}\times10^{-5} ≒ 8.84\times 10^{-8}$

② $\frac{5}{36\pi}\times10^{-5} ≒ 4.42\times 10^{-7}$

③ $\frac{1}{36\pi}\times10^{-4} ≒ 8.84\times 10^{-7}$

④ $\frac{5}{36\pi}\times10^{-4} ≒ 4.42\times 10^{-6}$

 

따라서 답은

②번입니다

 

다른 풀이 방법도 있는데요

$\varepsilon _0 = 8.85\times10^{-12}$ 이기도 하지만

$\varepsilon _0 = \frac{10^{-9}}{36\pi}$ 이기도 합니다

 

( $\frac{10^{-9}}{36\pi}$를 계산하면 

$8.85\times10^{-12}$ 값과 거의 유사합니다 )

 

따라서

$$P= \varepsilon _0 (\varepsilon _r -1) E$$

$$= \frac{10^{-9}}{36\pi}\times (6-1)\times10^4$$

$$= \frac{5}{36\pi}\times10^{-5}$$

 

따라서 ②번의 답을

바로 골라낼 수 있습니다

 

계산 문제에서

보기에 이렇게 $\pi$가 들어가면

$\varepsilon _0 = 8.85\times10^{-12}$ 대신 $\frac{10^{-9}}{36\pi}$를

대입하는 게 좀 더 유리한

경우도 있습니다

 

$$\varepsilon _0 = 8.85\times10^{-12}= \frac{10^{-9}}{36\pi}$$

로 함께 암기하면 도움이 됩니다

 

물론 $8.85\times10^{-12}$ 만 암기하더라도

위와 같이 보기 숫자들을

소수점 계산하여

풀어내면 됩니다

 

 

 

 

답) ②

 

 

 

(문6)

 

 

 

(풀이)

 

분극의 세기라는 말이 보이니

공식을 떠올려보면

 

$$P= \varepsilon _0 (\varepsilon _r -1) E = χ E$$

$$= D-  \varepsilon _0 E$$

$$=  D(1-\frac{1}{\varepsilon _r})$$

 

이 중 ③번 보기에

$$D-  \varepsilon _0 E$$

가 보이네요

 

분극의 세기 공식문제가

보기에 여러 가지로 식이 복잡하게

나오는 것 같지만

공식을 알면 답을 바로 고를 수 있고

 

특히 $D-  \varepsilon _0 E$가

옳은 답이 되는 형태로

많이 등장함을 알 수 있네요

 

답) ③

 

 

 

(문7)

 

 

(풀이)

 

마지막 문제입니다

유전체의 비분극률을 물어보네요

 

분극의 세기 공식을 떠올려보면

$$P= \varepsilon _0 (\varepsilon _r -1) E = χ E$$

$$= D-  \varepsilon _0 E$$

$$=  D(1-\frac{1}{\varepsilon _r})$$

 

였죠. 여기서 

$χ = \varepsilon _0 (\varepsilon _r -1)$ 를

분극률로 정의한다고 했습니다

 

그리고 $\varepsilon _r -1$를

비분극률이라고 하고 $χ_e$ 또는 $χ_r$ 등으로

표현한다고 했었죠. 

 

분극률이

진공의 유전율인 $\varepsilon _0$에서

비분극률인 $\varepsilon _r -1$ 만큼

곱해진 값이므로

 

비분극률 $\varepsilon _r -1$ 은

진공의 유전율의 몇 배인지를

나타냅니다

 

구하는 게 비분극률이네요

$$χ_e = \varepsilon _r -1$$

인데 주어진 $\varepsilon _r =3$이므로

$$\varepsilon _r -1 = 3 - 1 = 2$$

 

답은 ①번입니다

 

 

( 주어진 전속밀도 D는 

답을 구하는데 사실 필요가 없었네요 )

 

 

답) ①

 

 

연습문제까지

풀어보았습니다!

 

 

 

***

 

 

< 요약 >

 

 

 

 

 

***

 

Lv2 전기자기학 4장 

두 번째 포스팅인
분극의 세기에 대한 내용은 

여기까지입니다

 

결국 알아야 될 내용은

요약에 다룬 것처럼 

몇 줄의 공식이 전부입니다

Lv1에서는 다루지 않고 

Lv2에서 처음 다룬 내용인데
도움이 되셨으면 좋겠습니다

다음 포스팅에서는 

4장 3번째 내용으로

경계조건에 대한 내용에 대해 

Lv1에서 학습한 부분을 복습하고 

추가로 다룰 내용을

 함께 알아보려고 합니다

고생 많으셨습니다

감사합니다