[Lv2] 4장. 유전체 ④ 경계면에 작용하는 힘, 4장 전체 정리

 

 

 

안녕하세요!

Lv2 4장 마지막 포스팅입니다

 

4장에서 남은 내용을 마저 다루고

4장 내용을 정리하고

마무리하겠습니다

 

4장에서는

유전체에 대한 내용을 

공부하고 있습니다

 

평행판 콘덴서에서

유전체를 양쪽 판 사이에

삽입하는 상황에서

정전용량이 어떻게 되는지와

 

그때 발생하는 분극현상에 대해

알아봤었고

 

서로 다른 유전율을 가진

유전체를 전계가 지날 때의

경계조건에 대해서

 

수직입사의 상황과

경계면을 사이로 

대소를 비교하는 것까지

살펴봤습니다

 

 

 

 

***

 

 

 

< 경계면에 작용하는 힘 >

 

서로 다른 유전율을 가진

유전체의 경계면에서의 경계조건과

대소관계 변화를 알아봤습니다

 

마지막으로 알아볼 것은

이렇게 유전율이 서로 다른

유전체가 있을 때

 

경계면에서 작용하는 힘에

대한 내용입니다

 

작용하는 힘은

크기와 방향이 있을텐데요

힘의 방향부터 보겠습니다

 

 

- 힘의 방향

 

 

경계면에서 작용하는 힘의 방향은

'유전율이 큰 쪽에서 작은 쪽 방향'

입니다

 

간단하게 예제로 볼게요

 

 

(예제)

 

 

 

(풀이)

 

유전체 사이에 작용하는 힘을 물었는데

힘의 방향을 물어본 문제네요

 

유전율이 다른 두 유전체의

경계면에서 작용하는 힘은

그 방향이 유전율이 큰 쪽에서

작은 쪽으로 향합니다

 

어렵게 생각할 것 없이

$ε_1$이 $ε_2$보다 크다고 했으니

$ε_1$ 쪽에서 $ε_2$ 쪽으로

힘이 작용하겠네요

 

ⓑ쪽 방향임을 알 수 있습니다

 

 

답) ②

 

 

 

유전체의 경계면에서

작용하는 힘에 대한 내용 중

힘의 '방향'에 대해서

알아보았습니다

 

 

 

***

 

 

유전체의 경계면에서

작용하는 힘에 대한 내용 중

'힘의 크기'에 대해 알아보겠습니다

 

 

- 힘의 크기

 

 

경계면에서 작용하는 힘의 크기는

아래 두 가지 케이스로 나누어

생각해 볼 수 있습니다

 

 

1) 전계가 경계면에 수직인 경우

2) 전계가 경계면에 평행인 경우

 

 

먼저 첫 번째 케이스인

전계가 경계면에 수직인 경우를

보겠습니다

 

 

1) 전계가 경계면에 수직인 경우

 

아래 그림을 리마인드 해봅시다

평행판콘덴서에서 (+)극판에서

(-)극판으로 전계가 작용할 때

 

두 판 사이에 작용하는 힘이

$$\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 = \frac{1}{2}ED = \frac{D^2}{2\varepsilon_0}$$  

였었죠

 

 

 

 

이 상황에서 두 판 사이에

유전율이 다른 두 유전체가

들어간 상황이라고 해보면

두 경계면 사이를

전계가 수직으로 

지나고 있음을 알 수 있습니다

 

 

경계조건에서 경계면에

수직으로 입사하는 경우

전속밀도(D)가 일정하다고 한 것

기억나시나요

 

두 판 사이에 작용하는 힘

$$\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 = \frac{1}{2}ED = \frac{D^2}{2\varepsilon_0}$$  

에서

 

전속밀도(D)가 일정한 상황이므로

$$\frac{D^2}{2\varepsilon_0}$$

를 활용하면 됩니다

 

알고자 하는 게

경계면에서 작용하는

힘의 크기였죠

 

유전율이 다른 두 유전체가

만들어내는 힘의 차이만큼이

경계면에서 작용하는

힘의 크기가 되는데요

 

 

힘의 차이만큼이

경계면에서 작용하는

힘의 크기가 되므로

두 힘을 각각 $f_1$, $f_2$라 하면

$$f_1 - f_2 = \frac{D^2}{2\varepsilon_1} -  \frac{D^2}{2\varepsilon_2}$$

$$=\frac{1}{2}(\frac{1}{\varepsilon_1}-\frac{1}{\varepsilon_2})D^2$$

가 됩니다

 

$\frac{D^2}{2\varepsilon} = \frac{1}{2}(\frac{1}{\varepsilon}) D^2$ 의 모양과 유사하죠

 

결과적으로

전계가 유전체의 경계면을

수직으로 지날 때

경계면에 작용하는 힘의 크기는

$$\frac{1}{2}(\frac{1}{\varepsilon_2}-\frac{1}{\varepsilon_1})D^2$$

입니다

 

* 참고로

 이때 $ε_1 > ε_2$ 입니다 

분수 계산에서는 분모가 작은 게

전체 값은 크므로 큰 값에서 작은 값을 뺄 때

유전율이 작은 $ε_2$ 가

먼저 나옵니다 

 

다만 $\frac{1}{2}(\frac{1}{\varepsilon_2}-\frac{1}{\varepsilon_1})D^2$ 인지

$\frac{1}{2}(\frac{1}{\varepsilon_1}-\frac{1}{\varepsilon_2})D^2$ 인지를

굳이 구분해 엄밀하게 물어보진 않으므로 

모양만 맞춰주면 답을 고를 수 있으니

참고로 알고 넘어가시면 됩니다

 

이 공식 자체를

답으로 물어보는 문제가

자주 등장합니다

 

경계면을 '수직' 으로 지난다는 말이

중요합니다

 

경계면에 수직이라는 말이 나오면

전속밀도가 일정하므로

전속밀도 D가 들어간

 

$\frac{D^2}{2\varepsilon} = \frac{1}{2}(\frac{1}{\varepsilon}) D^2$  의 공식을 떠올리고

 

두 유전율 간의 차이를 나타내는

분수 계산이 들어간다고

연상해 암기해주면 됩니다

 

$\frac{D^2}{2\varepsilon} = \frac{1}{2}(\frac{1}{\varepsilon}) D^2$ 식에서

 

ε이 분모에 있으니

 

$$\frac{1}{2}(\frac{1}{\varepsilon_2}-\frac{1}{\varepsilon_1})D^2$$

 

이 식도 유전율 ε이 각각 분모에

들어간 뒤 차이를 구해준다 라고

연상해 주시면 되겠네요

 

 

예제로 볼게요

 

 

(풀이)

 

단위 면적당 작용하는 힘을

물었는데

 

서로 다른 유전율 $ε_1$ ,  $ε_2$가 보이고

경계면과 수직이라는 말이 보이네요

 

유전체의 경계면에서

전계가 수직으로 작용할 때 

경계면에 작용하는 힘은

 

$$\frac{1}{2}(\frac{1}{\varepsilon_2}-\frac{1}{\varepsilon_1})D^2$$

입니다

공식 자체를 물어보는 문제가

이렇게 나오니 형태를 

암기하는 것이 좋습니다

 

익숙하지 않을 때는

단위면적당 작용하는 힘이라는 말에서

 

$\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 = \frac{1}{2}ED = \frac{D^2}{2\varepsilon_0}$

 

를 떠올리고 경계면에 '수직' 이라는 말에서 

전속밀도 D가 일정함을 떠올려

 

$\frac{D^2}{2\varepsilon_0}$ 형태를 선택하고

 

$\frac{D^2}{2\varepsilon} = \frac{1}{2}(\frac{1}{\varepsilon}) D^2$ 식에서

 

ε이 분모에 있으니

 

최종적으로 유전율 차이를 나타내는 부분을

분수 계산으로 추가해

 

$$\frac{1}{2}(\frac{1}{\varepsilon_2}-\frac{1}{\varepsilon_1})D^2$$

 

이 식을 연상해주면 되는데

 

결국에 계속 보다 보면

경계면에 수직일 때

작용하는 힘이라는 말이 나올 때

 

 $\frac{D^2}{2\varepsilon} = \frac{1}{2}(\frac{1}{\varepsilon}) D^2$ 이랑 비슷한

 

$$\frac{1}{2}(\frac{1}{\varepsilon_2}-\frac{1}{\varepsilon_1})D^2$$

 

가 답이지 라고 바로 떠오를 수 있게

되실 것이라 생각합니다

 

 

 

 

***

 

 

 

 

2) 전계가 경계면에 평행인 경우

 

두 번째로 수직이 아닌

'평행'인 경우를 보겠습니다

 

이 경우는 

아래 그림과 같이 표현됩니다

 

경계면에 평행이라는 말은

경계면과 수평이라는 말과도 같은데

수평 입사할 때는

전계가 일정하다고 했었습니다

 

두 판 사이에 작용하는 힘

$$\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 = \frac{1}{2}ED = \frac{D^2}{2\varepsilon_0}$$  

에서

 

전계가 일정한 상황이므로

$\frac{1}{2}\varepsilon E^2$를 활용하면 됩니다

 

 

힘의 차이만큼이

경계면에서 작용하는

힘의 크기가 되므로

$$f_1-f_2 = \frac{1}{2}\varepsilon_1 E^2 - \frac{1}{2}\varepsilon_2 E^2$$

$$= \frac{1}{2}(\varepsilon_1 - \varepsilon_2)E^2$$

 

전계가 유전체의 경계면을

평행하게 지날 때

경계면에 작용하는 힘의 크기는

$$\frac{1}{2}(\varepsilon_1 - \varepsilon_2)E^2$$

입니다

 

( 이 때도 $ε_1 > ε_2$입니다 )

 

 

역시나 이번에는

경계면을 '평행' 으로 지난다는 말이

중요합니다

 

경계면에 평행이라는 말이 나오면

전계가 일정하므로

전계 E가 들어간

$\frac{1}{2}\varepsilon E^2$  의 공식을 떠올리고

 

유전율의 차이를 나타내는 

부분을 추가해 공식을 완성해주면

$$\frac{1}{2}(\varepsilon_1 - \varepsilon_2)E^2$$

가 됩니다

 

 

역시 예제로 볼게요

 

 

(예제)

 

 

(풀이)

 

단위면적당 작용하는 힘을

물었는데

 

유전율 $ε_1, ε_2$가 보이고

경계면에 평행으로 작용한다는

말이 보이네요

 

보기에 나온 식의 형태를 통해서도

어떤 공식을 묻는지 힌트를

얻을 수 있습니다

 

유전체의 경계면에서

전계가 평행으로 작용할 때 

경계면에 작용하는 힘은

 

$$\frac{1}{2}(\varepsilon_1 - \varepsilon_2)E^2$$

입니다

 

역시나 익숙하지 않을 땐

 

$\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 = \frac{1}{2}ED = \frac{D^2}{2\varepsilon_0}$

 

이 식에서 '평행'이라는 말을 통해

 

전계 E가 일정함을 떠올려 $\frac{1}{2}\varepsilon E^2$를 택하고

 

유전율의 차이를 나타내는 부분을 추가해

 

$$\frac{1}{2}(\varepsilon_1 - \varepsilon_2)E^2$$

를 연상하면 되겠지만

 

계속 보다 보면 경계면에 평행하게

작용하는 힘이라는 말이 나올 때

 

$\frac{1}{2}\varepsilon E^2$  이랑 비슷한

$$\frac{1}{2}(\varepsilon_1 - \varepsilon_2)E^2$$

가 답이지 라고 바로 떠오를 수 있게

되실 것이라 생각합니다

 

 

 

 

예제와 같이

비슷한 형태의 식이 보기로

등장하므로 헷갈릴 수 있으니

공식의 형태를 잘 연상할 수 

있어야겠습니다

 

답은 ③번입니다

 

 

답) ③

 

 

 

결론적으로 아래와 같이

정리할 수 있습니다

 

 

 

 

 

 

연습문제

풀어보겠습니다!

 

 

 

***

 

 

 

(문1)

 

 

 

 

(풀이)

 

단위면적당 작용하는 힘을

물었는데

 

서로 다른 유전율

$ε_1$, $ε_2$가 보이고

경계면에 수직이라는 말이 

보이네요

 

유전체의 경계면에서

전계가 수직으로 작용할 때 

경계면에 작용하는 힘은

 

$$\frac{1}{2}(\frac{1}{\varepsilon_2}-\frac{1}{\varepsilon_1})D^2$$

입니다

 

바로 떠오르지 않는다면

 

단위면적당 작용하는 힘이라는 말에서

 

$\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 = \frac{1}{2}ED = \frac{D^2}{2\varepsilon_0}$

 

를 떠올리고 경계면에 '수직' 이라는 말에서 

전속밀도 D가 일정함을 떠올려

 

$$\frac{D^2}{2\varepsilon_0}$$

 

형태를 선택하고

 

$\frac{D^2}{2\varepsilon} = \frac{1}{2}(\frac{1}{\varepsilon}) D^2$ 식에서

 

ε이 분모에 있으니

최종적으로 유전율의 차이를 나타내는 부분을

분수 계산으로 추가해

 

$$\frac{1}{2}(\frac{1}{\varepsilon_2}-\frac{1}{\varepsilon_1})D^2$$

 

이 식을 연상해주면 된다고 했었지요

 

 

( 위에서 푼 예제랑 완전히 똑같은 문제

같아 보이는데 보기가 아주 살짝 다릅니다. 

실제로 예제와 이 문제 모두 과년도

기출문제입니다. )

 

답은 ④번입니다

 

답) ④

 

 

 

(문2)

 

 

(풀이)

 

단위면적당 작용하는 힘을

물었는데

 

유전율 $ε_1, ε_2$가 보이고

경계면에 평행으로 작용한다는

말이 보이네요

 

유전체의 경계면에서

전계가 평행으로 작용할 때 

경계면에 작용하는 힘은

 

$$\frac{1}{2}(\varepsilon_1 - \varepsilon_2)E^2$$

입니다

 

역시나 익숙하지 않을 땐

 

$\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 = \frac{1}{2}ED = \frac{D^2}{2\varepsilon_0}$

 

 

이 식에서 '평행'이라는 말을 통해

전계 E가 일정함을 떠올려

 

$$\frac{1}{2}\varepsilon E^2$$

 

를 택하고

유전율의 차이를 나타내는 부분을 추가해

 

$$\frac{1}{2}(\varepsilon_1 - \varepsilon_2)E^2$$

 

를 연상하면 됩니다

 

 

 

(역시나 예제와 비교할 때

보기가 살짝만 바뀌어

반복 출제된 유형입니다)

 

답은 ①번입니다

 

 

답) ①

 

 

 

(문3)

 

 

 

(풀이)

 

서로 다른 유전율을 가진

두 유전체의 경계면에 대한

말 문제네요

 

'경계면에 작용하는 힘' 이

어디에 비례하는지를 묻고 있습니다

 

문제 마지막에 '수직' 이라는

키워드가 중요하겠네요

 

유전체의 경계면에서

전계가 수직으로 작용할 때 

경계면에 작용하는 힘은

 

$$\frac{1}{2}(\frac{1}{\varepsilon_2}-\frac{1}{\varepsilon_1})D^2$$

입니다

 

전속밀도(D)의 제곱($D^2$)에

비례함을 알 수 있습니다

(간혹 전속밀도를 면전하밀도로

표현하기도 합니다

$D=\frac{Q}{S}$ 이기 때문입니다 )

 

답은 ④번입니다

 

나머지 보기가 왜 틀렸는지도

살펴보면

 

일단 ③은 공식에 전계 E가 없으니

관련이 없음을 바로 알 수 있습니다

 

①,②를 살펴보면

유전율의 차이에 비례한다

혹은 반비례한다 라고 했는데

 

맞는 형태가 되려면

 

공식이 분수가 없는

$(ε_1 - ε_2)$ 형태거나

(유전율의 차이에 비례)

 

$\frac{1}{ε_2 - ε_1}$ 이런 형태가

(유전율의 차이에 반비례)

되어야 합니다. 

 

$$\frac{1}{2}(\frac{1}{\varepsilon_2}-\frac{1}{\varepsilon_1})D^2$$

이 식은

$\frac{1}{ ε_2 } - \frac{1}{ ε_1 }$ 형태라

다른 형태이죠

 

맞는 문장이 되려면

유전율의 차이에 비례 또는 반비례

가 아니라

유전율의 역수의 차이에 비례한다고 

해야 맞겠네요

 

 

 

 

답) ④

 

 

(문4)

 

 

(풀이)

 

단위면적당 작용하는 힘을

물었는데

 

서로 다른 유전율

$ε_1$, $ε_2$가 보이고

경계면에 수직이라는 말이 

보이네요

 

유전체의 경계면에서

전계가 수직으로 작용할 때 

경계면에 작용하는 힘은

 

$$\frac{1}{2}(\frac{1}{\varepsilon_2}-\frac{1}{\varepsilon_1})D^2$$

입니다

 

답은 ④번입니다

 

공식을 암기하고

필요한 키워드를 잡아낼 수 있으면

보기만 조금씩 달라지는 이런 문제에 대해

금방 답을 찾아낼 수 있을 거라

생각합니다

 

 

 

답) ④

 

 

 

(문5)

 

 

 

 

(풀이)

 

마지막 문제입니다

두 유전체의 경계면에

대한 문제네요

 

지난 포스팅의 경계조건과

이번 포스팅의 내용을

함께 알아야 풀 수 있습니다

 

보기를 하나씩 살펴보겠습니다

 

---

 

① 경계면에 수직입사할 때는

전계가 아니라

전속밀도가 같습니다 (X)

(전계가 같다고 해서 틀렸습니다)

 

---

 

② 유전율이 작은 쪽에서

큰 쪽으로 입사한다면 즉

$ε_1 < ε_2$ 라면

$θ_1 < θ_2$가 됩니다

 

(설명의 편의상 보통

입사하는 쪽의 첨자를 1로 하고

굴절되는 쪽의 첨자를 2로 고정해서

설명합니다)

 

유전체의 경계조건에서

대소관계 비교에 대한 내용인데요

 

$ε_1 < ε_2$  일 때

전계 E는 $E_1 > E_2$ 로

대소관계가 반대가 되지만

 

나머지 θ,D는 ε의 대소관계와

같습니다

 

$ε_1 < ε_2$  일 때

$θ_1 < θ_2$   이고 $D_1 < D_2$

인 것이지요

 

입사각 $θ_1$이 굴절각 $θ_2$보다

크다고 했으므로 틀린 설명입니다 (X)

 

---

 

③ 경계면에서 작용하는 힘에

대한 내용이네요

이번 포스팅에서 다룬 것입니다

 

방향과 크기 중에

방향을 말하고 있는데

'유전율이 큰 쪽에서

작은 쪽으로 작용한다'

라고 하는 설명은 맞는 설명입니다

 

경계면에 작용하는 힘은

전계가 수직이든, 평행이든

방향은 유전율이 큰 쪽에서 작은 쪽으로

동일합니다

 

크기는 앞서 내용에서 언급한 것처럼

수직이냐 평행이냐에 따라

다르게 골라줘야 하구요

 

여기서는 방향을 이야기하고 있네요

맞는 설명입니다 (O)

 

---

 

④

유전율이 큰 쪽에서

작은 쪽으로 입사한다면 즉

$ε_1 > ε_2$  라면

전계 E는 $E_1 < E_2$ 로

대소관계가 반대가 됩니다

 

유전율이 작은 쪽이

전계의 세기는 더 커집니다 (X)

( 유전율이 작은 쪽이

전계의 세기는 더 작아진다고

했으므로 틀렸습니다 )

 

답은 맞는 설명을 하는

③번입니다

 

 

답) ③

 

 

연습문제까지

풀어보았습니다

 

 

 

***

 

 

 

 

4장의 전체 내용을

지금까지의 큰 그림과 함께

정리하고 마무리하겠습니다

 

전기자기학 전체에서

2장~6장을

전기파트로 다루고 있는데

 

2장과 3장에 걸쳐

여러 종류의 전하와 도체의

전계와 전위, 정전용량 등을

 

매질이 진공, 공기일 때

구하는 법을 학습했었고

 

4장에서는

매질이 공기나 진공이 아니라

1보다 큰 비유전율을 가지는

유전체일 때의 상황을

학습했었습니다

 

특별히 평행판콘덴서에서

판과 판 사이에 유전체를

삽입할 때의 정전용량과

그때 생기는 분극에

대해서 공부하고

 

마지막으로 유전율이 다른

두 매질 사이의 경계조건과

경계면 사이에 작용하는 힘에 대해

살펴봤습니다

 

4장 유전체 챕터를

lv1에서 다룰 때는

아래의 목차대로

포스팅했었습니다

 

1) 유전체와 비유전율, 경계조건

2) 유전체를 삽입한 콘덴서

 

여기에 lv2 에서 공부한 내용을

lv1의 각 목차에 추가로 표시해 나타내면

 

1) 유전체와 비유전율, 경계조건

 

- 경계면 사이 대소비교(E의 대소바뀜)

- 수직입사($θ_1 = 0$)의 상황

- 경계면 사이에 작용하는 힘(수직,수평)

 

2) 유전체를 삽입한 콘덴서

 

-  판 사이 간격을 절반으로

나눈 유형에 대한 추가 연습 

 

3) 분극의 세기(분극률, 비분극률)

 

 

lv1에서 해당 챕터의

대략적인 부분을 다루고

lv2에서는 lv1에서 공부한 부분을

복습하고 추가로 살을 붙이는 것을

목표로 하고 있는데

 

lv2에서 살이 좀

많이 붙은 느낌이 있네요..ㅎㅎ

 

지금까지 몇장에서 어떤 것을 공부하고

현재 lv2에서 어떤 것을 다루었는지

주기적으로 계속 정리하고 있는데

 

포스팅을 따라서

공부하는 분이 계신다면

이러한 정리 하는 부분 또한

함께 되새기며 도움이 되었으면

좋겠습니다

 

대략적인 숲의 그림이 보이면

문제를 볼 때 이게 어느 챕터의 문제이고

어떤 공식을 사용해야 하는지

떠올리는 데 도움을 주는 것 같습니다

 

마지막으로 4장 전체의 

내용을 요약정리하고 

마무리하겠습니다

 

 

 

 

 

 

***

 

 

4장 요약까지

마무리했습니다

 

전기자기학이

생소한 용어와 식이 많아

처음에는 외계어처럼 느껴져도

 

한 번 익숙해지면 점수유지가

잘되는 과목이기도 합니다

 

노력하시는 만큼의

성과가 꼭 나오길 바라겠습니다!

 

다음 포스팅에서는

5장 '전기영상법' 을

다루어 보겠습니다

 

감사합니다!