[Lv2] 4장. 유전체 ① 평행판 콘덴서 판 간격 사이 유전체 삽입

 

 

안녕하세요. 

전기자기학 Lv2 

4장 시작하겠습니다

전기파트와 자기파트로 

구분되는 전기자기학의 
전기파트가 2~6장이고 

 

그중 각각의 전하 또는 도체의
전계, 전위, 정전용량 등을 

계산하는 방법을 
2장과 3장에 걸쳐 

알아보았습니다

특히 '평행판 콘덴서'에 대한 

여러 내용을 살펴봤던 것이 

3장에서 다룬 주된 주제였습니다

이때, 2장과 3장은 

각각의 전하 또는 도체가 속한
매질이 진공(공기)일 때의 상황을 

다루었는데요

4장은 공기나 진공이 아닌 

다른 매질에서는 어떻게 될지를 

다루는 챕터입니다.
'다른 매질'을 통틀어 

'유전체'라고 부릅니다

관련된 내용을 Lv1에서 학습했었는데
아래 링크를 참고하시면 됩니다

 

[Lv1] 4장. 유전체 ① 유전체와 비유전율, 경계조건

 

 

결론적으로 모든 내용과 공식에서
진공이 아닌 유전체가 포함된다면
$\epsilon_0 $ 대신 $\epsilon$ 를 사용한다는 것

($\epsilon=\epsilon_0 \epsilon_s $)을 

떠올릴 수 있습니다

관련 문제 가볍게 살펴보겠습니다

 

 

(예제1)

 

 

(풀이)

 

전기력선의 수를

묻는 문제네요

 

이에 대해서 lv2 2장에서

다룬 적이 있었죠

 

전기력선의 수는

$$N=\frac{Q}{\varepsilon_0}$$

라고 했었는데요

 

이것은 진공 또는 공기일 때를

말하는 것이고 유전체라면 

$$N=\frac{Q}{\varepsilon}$$

가 될 것입니다

이때 $\epsilon=\epsilon_0 \epsilon_s $ 가 되겠죠

 

즉 유전체에서 전기력선의 수는

$$N=\frac{Q}{\varepsilon}=\frac{Q}{ \varepsilon_0  \varepsilon_s }$$

가 됩니다

 

 

 

답은 ②번입니다

 

답) ②

 

 

 

(예제2)

 

 

(풀이)

 

두 점전하와 힘이라는

키워드가 나오면

 

쿨롱의 법칙 공식을 활용할 수 

있음을 lv1 첫 포스팅에서부터

다루었습니다

 

쿨롱의 법칙 공식은

$$F=\frac{Q_1 Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} $$

인데요

 

이것은 진공이나 공기 중일 때의 공식이고

 

문제를 보니 두 전하 사이의 힘을

공기중일때와 유전체일 때를

비교하고 있네요

 

유전체에서는 공식에 $\varepsilon_0$ 대신

 $\varepsilon$을 적용해야 하므로

( $\epsilon=\epsilon_0 \epsilon_s $ )

 

$$F=\frac{Q_1 Q_2}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_s r^2}$$ 

가 됩니다

 

 

$$F=\frac{Q_1 Q_2}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_s r^2} = \frac{Q_1 Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \times \frac{1}{\varepsilon_s}$$ 

 

즉, 공기 중일 때와 비교하면

유전체에서의 힘은

$\frac{1}{\epsilon_s}$ 배가 됩니다

 

 

공기 중일 때와 유전체일 때

힘이 5[N]이 2[N]이 되었으니

$\frac{2}{5}$ 배가 된 셈이네요

$$\frac{1}{\varepsilon_s} = \frac{2}{5}$$

이므로 역수를 취해주면

$$\varepsilon_s = \frac{5}{2}=2.5$$

 

답은 ②번입니다

 

비유전율이 2.5이므로

공기에서 유전체로 갈 때

힘이 딱 2.5배만큼 줄어든 것임을

알 수 있습니다

 

힘이 2.5배 줄어들었으니

비유전율은 2.5겠구나라고

직관적으로 풀 수도 있겠네요

 

답) ②

 

 

 

다음 내용으로

넘어가겠습니다!

 

 

 

***

 

< 평행판콘덴서의 판 간격을 나눠 유전체로 채운 경우 >

4장에서도 3장과 마찬가지로

평행판 콘덴서의 내용이 나오는데요
3장과 4장의 가장 큰 차이점이

 '유전체'가 있고 없고의 차이인 것을

 기억해 본다면 무엇을 공부할 것인지

추측해 볼 수도 있습니다

평행판 콘덴서 사이가 

진공이나 공기가 아니라 
일부분이 유전체로 채워진 상황을 

생각해 볼 수 있는 것이죠
그럴 때의 정전용량은 어떻게 될까를 

살펴보려고 합니다

 

관련 내용을 Lv1에서 학습했었는데요
(아래 링크를 참고하시면 됩니다)

 

[Lv1] 4장. 유전체 ② 유전체를 삽입한 콘덴서

중요한 내용을 정리해 보면
평행판콘덴서 사이에 

유전체를 넣는 문제가 나오면

먼저 유전체가 판 간격을 나누는 것인지
판의 면적을 나누는 것인지를 구분하고

각각의 케이스별로 

콘덴서의 직렬연결이나 병렬연결을
활용해 합성정전용량을 

구하는 것인데요

이중 '판의 간격을 나누는 유형'에 대해 

좀 더 알아보려고 합니다

대부분의 문제가 

'판 간격을 나누는' 문제의 형태로
출제되므로 해당 케이스에 대해서 

문제풀이 과정을 반복 숙달해

손에 익게 하는 게 중요합니다
(그리고 그중 대부분이 

판 간격의 '절반'을 나눈다 라는 말이

 나오게 됩니다)

예제를 통해 살펴보겠습니다

 

(풀이)

 

콘덴서의 정전용량을 묻는 문제인데

 

판 사이 공간 전체가 진공(공기) 이거나

판 사이 공간 전체가 유전체로 채워진 게 아니라

 

절반은 공기, 절반은 유전체로

채워진 문제입니다

 

주어진 문제의 그림을 보면

공기 부분과 유전체 부분이

판의 간격 d를 절반씩 나눠서

직렬로 연결된 형태임을

알 수 있습니다

 

( 위아래로 연결되었는데 왜 직렬이지라고 

헷갈릴 수도 있습니다

예제 그림을 보시면 판이 위아래로

누워있는 형태임을 알 수 있습니다

 

아래를 참고하시어

직렬,병렬이 헷갈리지 않도록

도움이 되면 좋겠습니다 )

 

 

콘덴서(커패시터)의 직렬연결 공식은

$$C=\frac{1}{\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}}=\frac{C_1 C_2}{C_1 +C_2}$$

입니다

 

공기 부분을 $C_1$, 유전체 부분을 $C_2$라 하면

공기 부분의 정전용량 $C_1$은

$$ C_1 = \frac{ \varepsilon_0 S }{\frac{1}{2} d}$$

유전체 부분의 정전용량 $C_2$는

$$ C_2 = \frac{ \varepsilon_0 \varepsilon_r S }{\frac{1}{2} d}$$

이므로

 

두 부분을 직렬로 연결한

전체 정전용량은

$$C=\frac{1}{\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}}$$

$$= \frac{1}{\frac{\frac{1}{2} d}{ \varepsilon_0 S } + \frac{\frac{1}{2} d}{ \varepsilon_0 \varepsilon_r S }}=\frac{1}{\frac{d}{ 2 \varepsilon_0 S } + \frac{ d}{ 2 \varepsilon_0 \varepsilon_r S }}$$
$$=\frac{1}{ \frac{\varepsilon_r d + d}{ 2 \varepsilon_0 \varepsilon_r S }} =\frac{1}{ \frac{(\varepsilon_r +1)d}{ 2 \varepsilon_0 \varepsilon_r S }}$$
$$ =\frac{ 2 \varepsilon_0 \varepsilon_r S }{(\varepsilon_r +1)d}$$

 

이 정전용량을 

공기만 있었을 때의 정전용량과 비교하면

(공기만 있을 때 $C_0=\frac{ \varepsilon _0 S}{d}$ )

 

$$\frac{ 2 \varepsilon_0 \varepsilon_r S }{(\varepsilon_r +1)d} =\frac{\varepsilon_0 S} {d}\frac{2\varepsilon_r}{1+ \varepsilon_r} $$
$$=\frac{2\varepsilon_r}{1+ \varepsilon_r} C_0$$

 

즉 공기만 있었을 때의 

정전용량 $C_0$의 

$=\frac{2\varepsilon_r}{1+ \varepsilon_r}$배가 됩니다

 

$\varepsilon_r = 5$ , $C_0 = 0.3 [uF]$ 이므로

$$C =\frac{2\varepsilon_r}{1+ \varepsilon_r} C_0 = \frac{2 \times 5}{1+5} \times 0.3 = 0.5 [uF]$$

 

답은 ④번입니다

 

답) ④

 

 

복습 겸 조금 자세하게 풀이했는데

복잡하게 느껴지실 수 있지만

 

결과적으로

콘덴서 사이에 유전체를 넣을 때

'판 간격을 절반으로 나눈' 유형은

앞의 과정을 다 생략하고

$$=\frac{2\varepsilon_r}{1+ \varepsilon_r} C_0 $$

해당 공식에 대입해서

바로 답을 구할 수 있습니다

 

자주 나오는 유형이므로

공식처럼 외우고 있으면

편하게 답을 구할 수 있으므로

암기하면 편리합니다

 

판 간격의 $\frac{1}{2}$ 에서

분모분자의 숫자 1과 2가

서로 위아래가 뒤바뀌어

공식을 이루고 있음을 상기하면

암기에 도움이 될 수 있습니다

 

1과 2를 위아래를 바꿔서 써준 다음

분모에는 $ \varepsilon_r$을 더해주고

분자에는 $\varepsilon_r$를 곱해주면 되네요

 

 

 

 

***

 

 

< '판 간격 절반' 이 아닌 경우 >

 

위의 유형은 두 판의 간격을

절반으로 나눈 경우에 해당하는 것인데

 

간격을 절반이 아니라 예를 들어

2/3로 나눈다면 어떻게 될까요?

 

 

어쨌든 판의 간격을 나누면

직렬연결이라고 했었죠

 

공기 부분과 유전체 부분이

각각 나뉘어 직렬로 연결된 형태입니다

 

공기 부분은 유전율 $\varepsilon_0$와 간격 $\frac{1}{3} d$

유전체 부분은 유전율 $ \varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_s $와 간격 $\frac{2}{3} d$

두 부분을 직렬연결하면

$$C=\frac{1}{\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}}$$

$$= \frac{1}{\frac{\frac{1}{3} d}{ \varepsilon_0 S } + \frac{\frac{2}{3} d}{ \varepsilon_0 \varepsilon_r S }}=\frac{1}{\frac{d}{ 3 \varepsilon_0 S } + \frac{ 2d}{ 3 \varepsilon_0 \varepsilon_r S }}$$
$$=\frac{1}{ \frac{\varepsilon_r d + 2d}{ 3 \varepsilon_0 \varepsilon_r S }} =\frac{1}{ \frac{(\varepsilon_r +2)d}{ 3 \varepsilon_0 \varepsilon_r S }}$$
$$ =\frac{ 3 \varepsilon_0 \varepsilon_r S }{(\varepsilon_r +2)d}$$

$$=\frac{\varepsilon_0 S} {d}\frac{3\varepsilon_r}{2+ \varepsilon_r} $$
$$=\frac{3\varepsilon_r}{2+ \varepsilon_r} C_0$$

 

즉 유전체가 판 간격의 2/3 만큼의

두께를 가진다면 정전용량은

유전체를 넣기 전 공기콘덴서의

$\frac{3\varepsilon_r}{2+ \varepsilon_r} C_0$ 배가 됩니다

 

앞의 과정을 다 생략하고

해당 공식 $\frac{3\varepsilon_r}{2+ \varepsilon_r} C_0$에

대입할 수 있겠습니다

 

판 간격의 $\frac{2}{3}$ 에서

분모분자의 숫자 2와 3이

서로 위아래가 뒤바뀌어

공식을 이루고 있음을 상기하면

암기에 도움이 될 수 있습니다

 

$\frac{2}{3}$의 2와 3을 위아래를 바꿔서 써준 다음

분모에는 $ \varepsilon_r$을 더해주고

분자에는 $\varepsilon_r$를 곱해주면 되네요

 

 

 

 

정리해 보면 평행판 콘덴서에서 

유전체를 삽입할 때

판 간격을 나누는 경우에

 

- 절반으로 나누면

$$C =\frac{2\varepsilon_r}{1+ \varepsilon_r} C_0$$

 

- 판 간격의 $\frac{2}{3}$ 로 나누면

$$C =\frac{3\varepsilon_r}{2+ \varepsilon_r} C_0$$

 

가 됩니다

 

내용은 여기까지입니다

연습 문제 풀어보겠습니다

 

 

 

***

 

 

 

(문1)

 

 

 

(풀이)

 

콘덴서 정전용량을 구하는 문제인데

두 판 사이에 절반 두께로

판과 평행하게 넣었다고 나오네요

 

판 사이에 평행하게 넣었다는 말은

아래 그림과 같이 넣었다는 뜻입니다

 

 

 

판 간격을 나눈

직렬연결이 되는 것입니다

판 간격을 '절반'으로 나누면

$$\frac{2\varepsilon_r}{1+ \varepsilon_r} C_0 $$

이 공식을 사용한다고 했었죠

 

$C_0 = 0.03$ , $\varepsilon_r = 10$ 이므로

( $C_0$는 유전체를 넣지 않은 상태의

공기콘덴서의 정전용량입니다 )

 

$$\frac{2\varepsilon_r}{1+ \varepsilon_r} C_0 $$

$$=\frac{2\times 10}{1+ 10} \times 0.03 $$

$=0.055$  [μF]

 

답은 ④ 번입니다

 

답) ④

 

 

 

(문2)

 

 

 

 

(풀이)

 

콘덴서의 정전용량을 구하는데

두께가 $\frac{1}{2} d$인 유전체를

한 전극면에 접촉하여 넣는다는 말은

 

위아래 판 중 한쪽 판에 닿도록 해서

끼워 넣는다는 의미로

문제에 주어진 그림처럼

판 간격을 절반으로 나눈 상황입니다

 

두께가 $\frac{1}{2} d$ 이라고 주어진 것과

또는 그냥 그림만 봐도 

자주 보던 '판 간격을 절반으로 나눈 상황'임을

알 수 있습니다

 

판 간격을 '절반'으로 나누면

$$\frac{2\varepsilon_r}{1+ \varepsilon_r} C_0 $$

이 공식을 사용한다고 했었죠

 

$C_0 = 1 [μF]$ , $\varepsilon_r = 2$ 이므로

 

$$\frac{2\varepsilon_r}{1+ \varepsilon_r} C_0 $$

$$=\frac{2\times 2}{1+ 2} \times 1 $$

$$=4/3  [μF]$$

 

답은 ③번입니다

 

답) ③

 

 

 

 

(문3)

 

 

(풀이)

 

 

흡인력의 비를 묻고 있네요

3장에서 콘덴서 사이에

작용하는 힘에 대해

학습한 적이 있습니다

 

$\frac{1}{2}DE \cdot S=\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 \cdot S=\frac{D^2}{2\varepsilon_0} \cdot 
 S$ 였었죠

 

해당 공식은 정전에너지 공식인

$\frac{1}{2}CV^2=\frac{1}{2}QV=\frac{Q^2}{2C}$ 에서

유도되는 공식으로

에너지에서 거리 d를 나누어서

구할 수 있다고 했었는데요

 

그렇다면

판 사이의 거리 d는 일정하므로

흡인력의 비를 구할 때

정전에너지의 비를 이용해서 구해도

결과가 같음을 알 수 있습니다

 

문제에서

극간 전압이 일정하다고 주어져 있네요

정전에너지 공식 중

$\frac{1}{2}CV^2$ 에서

V가 일정하므로

 

따라서 정전에너지의 비는

정전용량 C의 비와

같음을 알 수 있네요

 

흡인력의 비 $\frac{F_2}{F_1}$ 값을

구하기 위해

$\frac{C_2}{C_1}$ 을 구하면

된다는 뜻이 되네요

 

$C_1$은 공기콘덴서만 있을 때의

정전용량으로 앞의 문제들에서 봤던

$C_0$에 해당합니다

 

$C_2$은 유전체를 삽입할 때의

정전용량으로 앞의 문제들에서 

구했던 정전용량에 해당합니다

이번에도 유전체가 삽입된 때의

정전용량을 구해봐야겠네요

 

문제를 보면

극판 간격의 2/3 두께의 유리판을 

집어넣는다고 되어있네요!

 

극판 간격의 '절반' 이라면

$$\frac{2\varepsilon_r}{1+ \varepsilon_r} C_0 $$

이 공식을 사용하겠지만

 

극판 간격의 2/3라면

$$\frac{3\varepsilon_r}{2+ \varepsilon_r} C_0 $$

이 공식을 사용해야겠습니다

 

$ \varepsilon_r = 10$ 이므로

$$C_2 = \frac{3\varepsilon_r}{2+ \varepsilon_r} C_0 = \frac{3\times 10}{2+ 10}C_0$$

$$= \frac{30}{12} C_0 = 2.5C_0$$

 

$$\frac{C_2}{C_1} = \frac{2.5C_0}{C_0} = 2.5 $$

 

답은 ④ 번입니다

 

답) ④

 

 

 

(문4)

 

 

(풀이)

 

콘덴서의 용량을 구하는 문제인데

'간격의 절반 두께의 유리판을 넣었다'라는

언급이 나오네요

 

판 간격의 절반을 나누는 경우에는

$$\frac{2\varepsilon_r}{1+ \varepsilon_r} C_0 $$

이 공식을 사용한다고 했었죠

 

$C_0 = 0.2 [μF]$ , $\varepsilon_r = 10$ 이므로

 

$$\frac{2\varepsilon_r}{1+ \varepsilon_r} C_0 $$

$$=\frac{2\times 10}{1+ 10} \times 0.2 $$

$$ ≒ 0.36 [μF]$$

 

 

이런 식으로 공식 암기를 통해

금방 답을 구할 수 있습니다

 

주어진 단위가 [μF]이니 계산할 때 $10^{-6}$을

곱해야 되지 않나 생각할 수도 있는데요

주어진 0.2 [μF]를 대입할 때

$0.2\times10^{-6}$을 집어넣으면

결과가  $0.36\times10^{-6}$이 되는데

이것은 [F] 단위입니다

문제에서 [μF] 단위로 물어보므로

[μF]로 바꾸기 위해 다시 $10^{6}$을 곱해줘야 합니다

 

주어진 단위와 문제에서 요구하는 단위가

[μF] 단위로 같으므로

단위변환 과정이 결과적으로

필요 없게 되는 것입니다

 

이번 포스팅에서 다루는 

두 판 사이에 유전체를

삽입하는 유형의 경우에는

 

이런 식으로 단위가 [μF]로

거의 고정되어 출제되므로

단위변환에 신경 쓰지

않으셔도 됩니다

 

 

답은 ②번입니다

 

답) ②

 

 

 

 

(문5)

 

 

 

 

(풀이)

 

정전용량을 구하는 문제네요

 

절반이 아니라 2/3 만큼이니

$$\frac{3\varepsilon_r}{2+ \varepsilon_r} C_0 $$

이 공식을 이용해야겠다고

생각할 수도 있습니다

 

주어진 비유전율이 $\varepsilon_s$ 이므로

$$\frac{3\varepsilon_s}{2+ \varepsilon_s} C_0$$

으로 답을 체크하려니 보기에

답이 없네요?!

 

이 문제는

판 간격을 나눈 게 아니라

판의 면적을 나눈 문제입니다

 

위의 문제 4번까지는

'판 간격'을 나누는 유형에서

절반이냐 2/3이냐를 구분해

공식을 사용했고

 

판 간격을 나누면 직렬

이라는 전제로 접근했던 것인데

 

이 문제는 면적을 나눈 것이네요

간격이 아니라 면적의 2/3라는 표현과

문제의 그림을 통해서 알 수 있습니다

 

판 간격을 나누면 직렬이고

판 면적을 나누면 '병렬' 연결입니다

 

(  간.직 (혹은 간.나.직) 으로 외우고, 그게 아니면 병렬

이렇게 기억할 수도 있습니다  )

 

콘덴서의 병렬연결은

두 정전용량을 그냥

더해주면 끝입니다

 

공기 부분은 유전율 $\varepsilon_0$ , 면적 $\frac{1}{3} S$

삽입된 유전체 부분은 유전율 $\varepsilon= \varepsilon_0 \varepsilon_s$, 면적 $\frac{2}{3} S$

간격은 $d$로 동일합니다

 

정전용량을 더해주면

 

$$\frac{\varepsilon_0 \frac{1}{3} S}{d}
+\frac{\varepsilon_0 \varepsilon_s\frac{2}{3} S}{d}$$

 

$$=\frac{\varepsilon_0(1+2\varepsilon_s) S}{3d}
=\frac{1+2\varepsilon_s }{3}\times \frac{\varepsilon_0 S}{d}$$
$$=\frac{1+2\varepsilon_s }{3} C_0$$

 

답은 ④ 번입니다

 

답) ④

 

 

 

 

(문6)

 

 

(풀이)

 

콘덴서의 정전용량을 물었는데

극판 간격의 1/2 두께의 유리판을

평행하게 넣었다는 말이 나오네요

 

앞에서 살펴봤듯이

판 간격을 나누면 직렬이고

나눈 간격이 절반, 1/2 이라면

$$\frac{2\varepsilon_r}{1+ \varepsilon_r} C_0 $$

이 공식을 통해

답을 쉽게 얻을 수 있습니다

 

$C_0 = 0.06 [μF]$ , $\varepsilon_s = 5$ 이므로

 

$$\frac{2\varepsilon_s}{1+ \varepsilon_s} C_0 $$

$$=\frac{2\times 5}{1+ 5} \times 0.06 $$

$$ ≒ 0.099999 ≒ 0.1[μF]$$

 

답은 ③번입니다

 

일부의 문제를 제외하면

판 사이에 유전체를 삽입하는

유형의 문제는 대부분 사실상

'판 간격'을 '절반'으로 나누는

유형입니다

 

 

답) ③

 

 

 

(문7)

 

 

(풀이)

 

마지막 문제입니다

커패시터의 정전용량을 묻는데

두 극판과 평행하게 절반을

유전체로 채운다는 말이 있네요

 

이 말이 간격을 절반으로 나눈 유형

즉 자주 보던 유형임을 안다면

 

$$\frac{2\varepsilon_r}{1+ \varepsilon_r} C_0 $$

이 공식을 이용하면 된다고 했었죠

보기에 보면

해당하는 게 없는 것처럼 보이는데

 

$$\frac{2\varepsilon_r}{1+ \varepsilon_r} C_0 $$

여기서 분모와 분자를 똑같이  

$\varepsilon_r$ 로 나누면

(또는 $\frac{1}{ \varepsilon_r }$를 곱해주면)

 

$$ \frac{(2\varepsilon_r) \times \frac{1}{ \varepsilon_r }}{(1+ \varepsilon_r) \times \frac{1}{ \varepsilon_r } } C_0 =  \frac{2C_0}{\frac{1}{\varepsilon_r}+1} $$

 

$$ = \frac{2C_0}{1+\frac{1}{\varepsilon_r}} $$

이렇게 됩니다. 

 

 

답은 ③번입니다

 

답) ③

 

 

연습문제까지

모두 풀어보았습니다!

 

 

 

 

***

 

 

 

<요약>

 

 

 

 

 

***

 

 

Lv2 4장 전기자기학 

첫 번째 포스팅내용은
여기까지입니다

내용자체는 Lv1에서 학습했던 것과
크게 다르지 않아 보이지만

 Lv1에서는 기본공식을 통한
정석적인 풀이과정을 살펴보았다면

2회독째의 컨셉인 lv2에서는 

복습과 더불어 유도과정을 

간소화한 공식의 적용으로 

 

비슷한 유형의 문제를 

반복숙달할 수 있도록

 포스팅 해보았습니다

복잡해 보일 수 있는 내용이지만 
비슷한 유형의 문제에 익숙해지는데 

도움이 되었으면 좋겠습니다

긴 내용 따라오시느라 

고생 많으셨습니다

다음 포스팅은

 '분극'에 대한 내용을 

다뤄보겠습니다
감사합니다