[Lv2] 5장 ① 전기영상법(lv1 복습 및 추가설명)

 

 

 

안녕하세요! 

공부하는 피카츄입니다

 

전기자기학 Lv2 포스팅도

어느덧 5장으로 넘어왔습니다

 

전기와 자기 파트 중

2장부터 6장까지

전기파트를 다루는데

 

각 전하와 도체의 

전계, 전위, 정전용량 등을

2장과 3장에 걸쳐 살펴보고

 

4장에서는 이러한

전계, 전위, 정전용량 등이

매질이 진공이나 공기가 아닌

유전체에선 어떻게 되는지

학습했었습니다

 

특히 lv2에서는

평행판 콘덴서에 대해

좀 더 많이 다루었네요

 

이렇게 잠깐이나마

지금까지 봤던 내용을 

누적식으로 되새기면

큰 흐름을 잡는데 도움이 

되는 것 같습니다

 

 

 

***

 

 

본격적으로 5장 내용

시작해 보겠습니다

 

5장은 전계의 특수해법 

이라고 하기도 하고

전기영상법 이라는 내용으로

설명하는 챕터입니다

 

그동안 2장에서 4장까지

학습했던 방법으로

전계나 힘 등을 구할 수 없을 때

어떻게 구할 지를 다룬 챕터입니다

 

예를 들어 아래와 같은

예제를 볼게요

 

 

 

 

무한평면의 전계는 $\frac{ρ_s}{2ε_0}$이고

점전하의 전계는 $\frac{Q}{4πε_0 r^2}$인데

 

무한평면과 점전하 사이의

힘에 대해서는 무슨 공식을

써야 될지 애매하다는 생각이

들 수 있습니다

 

이렇게 단일도체나 전하가 아닌

두 종류 이상의 도체나 전하가

같이 나오고 그 둘 사이의

힘을 구하라고 하는 등

 

2장~4장까지의 공식을

사용하기가 애매하다면 

 

혹시 전기영상법 문제인지

한 번쯤 의심해볼 필요가 있습니다

 

( 해당 문제 풀이는 잠시 후 

이론내용을 보고 이어가겠습니다 )

 

 

 

***

 

 

 

전기영상법은

가상의 전하가 있다고 가정하고

힘이나 일 등을 구하는 내용임을

lv1에서 학습했었습니다

 

Lv1 5장 내용은 아래 링크에서 확인하시면 됩니다

[Lv1] 5장. 전기영상법(무한평면 및 접지구도체와 점전하, 대지면과 선전하)

 

 

중요 키워드와 물어보는 내용이

대부분 정해져있어서 해당 내용만

잘 암기해서 적용할 수 있으면

된다고 했었습니다

 

크게 3가지 주제가 있었습니다

(1) (접지된) 무한평면과 점전하

(2) (접지된) 구도체와 점전하

(3) 대지면과 선전하

 

각각에 대해 복습해봅시다

 

(1) (접지된) 무한평면과 점전하

 

점전하와 '무한평면(혹은 접지된 평면)'

이라는 말이 함께 나오면

전기영상법을 떠올리면 되는데

 

이 때 평면 반대편의 영상전하량은

-Q[C]이 된다고 했었습니다

 

평면거울에 비친 모습은

실제와 크기가 같고

거울과 물체의 거리도

거울 속의 물체의 거리와 같듯이

 

무한평면과 점전하에서도

평면 반대편의 전하의 크기가

실제 전하와 크기가 같음을

쉽게 받아들일 수 있습니다

 

크기가 같고 부호는 반대인

-Q[C]가 되는 것입니다

 

두 전하 사이의 힘을 구하면

무한평면과 점전하 사이에

떨어진 거리가 d[m]라고 하면

 

$$F=\frac{(+Q)(-Q)}{4πε(2d)^2}=-\frac{Q^2}{16πεd^2} [N]$$

 

(부호가 (-)이므로 항상 흡인력이 작용)

이 되고

 

무한히 멀리 떨어뜨릴때

(무한원점까지 운반할때)

 

필요한 일의 양을 구하라고 하면

 

$$W=F×d=\frac{Q^2}{16πεd^2}×d=\frac{Q^2}{16πεd} [J]$$

이라고 했었습니다

 

최대전하밀도를

물어볼 때도 있는데

$$σ_{max} =-\frac{Q}{2πa^2}$$

라고 했었습니다

 

(2) (접지된) 구도체와 점전하

 

반지름이 a인 접지된 구도체와

 d만큼 떨어진 곳에 

점전하 Q[C]이 있다고 해봅시다

 

점전하와 '접지된 구도체' 라는 말이

함께 나오면 역시나 전기영상법을 

떠올릴 수 있습니다

 

방금 전 점전하와 무한평면에서

평면거울에 비유해 설명했는데

 

구도체는 도로 모퉁이 등에서

보이는 볼록거울을 연상해서

이해할 수 있습니다

 

볼록거울은 실제 사물의 위치와

거울 속 사물의 위치가 다르게 보이고

크기도 다름을 실생활 속 경험으로 

알 수 있는데요

 

아까 다룬 '무한평면과 점전하'에선

거리가 d[m] 떨어져있으면

가상의 영상전하와 평면 사이도

d[m] 떨어져있는 것으로 

해석할 수 있었는데

 

접지된 구도체는 

영상전하의 위치도 d[m]가 아니고

복잡한 계산을 통해 

유도하여 알 수 있습니다

 

결과만 알면 되고

영상전하의 위치는

구도체 내부 어딘가에 있고 

$$x=\frac{a^2}{d}$$ 

가 됩니다

 

또한 알아두면 좋은 것은

구도체 내부에 있다고 한것과

점전하와 구도체를 이은 직선상에

존재한다는 것입니다

 

쉽게 말해 아래 그림과 같습니다

 

 

 정확히 구도체 내부 어떤 위치인지 

감이 직관적으로 와닿지 않을 수 있지만

위치가 대략적으로 이 즈음 어딘가에

있다는 정도만 알고

결과식만 알면 충분합니다

 

영상전하의 위치에 이어

접지된 구도체와 점전하에서

영상전하의 크기도 살펴보면

 

앞선 평면거울에 빗대어 설명한

'점전하와 무한평면' 에서는

부호는 달라도 크기는 같았죠

( -Q[C]이라고 했었으니까요)

 

지금 보는 '접지된 구도체'와 점전하는

볼록거울에 비친 사물의

크기가 실제와 다르듯이

영상전하의 크기도

-Q[C]이 아니라

 

$$Q'=-\frac{a}{d} Q$$

입니다

 

부호가 (-)이므로

항상 흡인력이 작용하는건

동일하네요

 

'접지된 구도체와 점전하' 설명 문제에서

'부호는 다르고 크기는 같다' 라는 식으로

오답보기로 출제되는 경우가 있습니다

 

자칫 '영상법이면 거울에 비친 것이니

무조건 부호는 다르고 크기는 같지'

라고만 생각할 수 있으므로

 

'무한평면' 일때와

'접지된 구도체' 는 구분해서

암기해야겠습니다!

 

 

(3) 대지면과 선전하

 

점전하와 '무한평면'

점전하와 '접지된 구도체'

까지 봤었고

 

3번째 케이스는 점전하가 아니라

'선전하'와 '무한평면' 입니다

 

3번 제목에 대지면과 선전하라고

되어있지만 더 넓은 범주에서는 

선전하와 무한평면 인 것이죠

(지구상 대지면도 일종의 무한평면으로

볼 수 있으므로 같은 범주로 볼 수 있습니다)

 

선전하밀도가 ρ[C/m]로 주어져있는

선전하와 무한평면까지의 거리가

r[m] 떨어져있을 때

 

선전하와 무한평면 사이의 힘을

어떻게 구할까 생각해보면

역시나 전기영상법을 

떠올려볼 수 있습니다

 

무한평면이니 마찬가지로

평면거울에 빗대어서

반대방향에 - ρ[C/m]의 선전하밀도를 가지는

가상의 직선 도체를 생각해 볼 수 있습니다

 

2장에서 F=QE 라는 식이 있었는데

전하량 Q 대신

ρ [C/m] 라는 선전하밀도가 주어져 있으므로 

 F= ρ E를 생각해보면

 

반대편의 가상 직선도체에서

실제 직선까지의 거리는 2r이 되고

가상의 직선도체의 선전하밀도는 - ρ이므로

$$F= ρ' E=(- ρ )×\frac{ ρ }{2πε(2r)}=-\frac{ ρ ^2}{4πεr}$$

가 됩니다

( E 대신 선전하밀도 전계공식

$E=\frac{ρ}{2πε r}$ 대입 )

 

무한평면 대신

대지면이라는 말이 나와도

동일하게 적용할 수 있습니다

 

이 때는 대지면과 선전하의 거리를 

r이 아니라 높이를 의미하는 h가

주어지는데 힘은 똑같이 

$$ F=-\frac{ ρ ^2}{4πεh}$$

가 되겠네요

 

힘이 h에 반비례한다 라는 보기가

대지면과 선전하에서

자주 출제되던 보기입니다

 

자기학을 공부하다보면

어디에 반비례하는지

물으면 무의식적으로 $r^2$, $h^2$ 등

제곱에 반비례하는 것을

많이 생각할 수 있는데

 

문제에 대지면과 선전하라는 단어가

보이면 'h에 반비례'를 반사적으로

체크할 수 있습니다

 

선전하 전계 공식도

$E=\frac{ρ}{2πε r}$로

$r^2$이 아니라 r에 반비례하므로

선전하 라는 말에서 연상해 'h에 반비례'를

헷갈리지 않게 체크할 수도 있겠습니다

 

 

lv1에서 추가된 내용은 사실상

거의 없지만 헷갈릴 수 있는

포인트들을 한번 더 점검해 보았습니다

 

문제 풀어보겠습니다

 

 

***

 

 

(문1)

 

 

(풀이)

 

포스팅 서두에서 봤던 문제입니다

점전하가 받는 힘을 물어보는데

무한평면과 점전하가 함께 등장하면

어떤 공식을 써야될지

헷갈릴 수 있다고 했었는데

 

두 종류의 도체와 전하가 함께 나올 때는

전기영상법을 고려해볼 수 있다고 했었죠

 

내용으로 봤던 3가지 케이스 중

첫 번째 케이스인

'점전하와 무한평면'의 케이스입니다

 

평면거울을 떠올리면 

된다고 했었죠

 

평면 반대편의 영상전하량은

-Q[C]이 된다고 했었고

 

두 전하 사이의 힘을 구하면

무한평면과 점전하 사이에

떨어진 거리가 d[m]라고 하면

 

$$F=\frac{(+Q)(-Q)}{4πε(2d)^2}=-\frac{Q^2}{16πεd^2} [N]$$

이라고 했었습니다

 

이 과정을 직접 떠올려가며

풀이해도 되고

$$F=-\frac{Q^2}{16πεd^2} [N]$$

라는 공식을 암기해

바로 적용해도 됩니다

 

 

거리 $d=2[m]$

전하량 $Q=4[C]$이므로

$$F=-\frac{Q^2}{16πε_0 d^2} $$

 

$$= -\frac{4^2}{16πε_0(2^2)} = -\frac{1}{4πε_0} [N]$$

 

( (-)부호는 흡인력임을 나타내는 부호이므로

힘의 크기를 구하라고 하면

없어도 무방합니다 )

 

답은 ②번입니다

 

답) ②

 

 

(문2)

 

 

 

(풀이)

 

'접지 도체구' 라는 말과

'점전하' 라는 말이 함께 나오면

전기 영상법을 떠올릴 수 있습니다

 

살펴본 세 가지 중 

두 번째 케이스죠

 

볼록거울을

연상하면 된다고 했었습니다

(영상전하의 부호도 다르고

크기도 다른 케이스!)

 

접지된 구도체와

점전하에서 영상전하의 크기는

 

$$Q'=-\frac{a}{d} Q$$

 

라고 했었습니다

 

 

답은 ③번입니다

 

답) ③

 

 

 

(문3)

 

 

(풀이)

 

점전하와 무한평면 이라는 말이

함께 나왔으니

전기영상법 문제임을

알 수 있습니다

 

전기영상법의

세 가지 케이스 중

첫 번째 케이스입니다

 

이 문제는 영상전하를 물었으니

영상법임을 떠올리기 그나마

수월할 것 같네요

 

무한평면과 점전하에서는

평면거울을 연상하면 된다고 

했었습니다

 

실제 전하와 평면이 d[m]만큼

떨어져있으면 영상전하도 평면과

d[m]만큼 떨어져있고

 

전하량이 +Q[C]이면

영상전하량은 -Q[C]으로

부호는 다르지만 크기는 같습니다

 

평면거울이니

크기가 같다는 말을 떠올려

' Q[C]과 같다 ' 라고

무심코 체크하면 안되고

 

부호는 다르다는 걸 유념해

'-Q[C]와 같다' 를 선택해야 합니다

 

답은 ③번입니다 

 

답) ③

 

 

(문4)

 

 

 

(풀이)

 

무한평면과 점전하라는 말이

함께 등장하면 전기영상법을

떠올릴 수 있습니다

 

전기영상법의 세 가지 케이스 중

첫 번째 케이스네요

 

$$F=\frac{(+Q)(-Q)}{4πε(2d)^2}=-\frac{Q^2}{16πεd^2} [N]$$

이라고 했었습니다

 

앞의 1번문제와 같은 유형으로

숫자만 바뀐 케이스입니다

 

 

 

거리 $d=1[m]$

전하량 $Q=1[C]$이므로

$$F=-\frac{Q^2}{16πε_0 d^2} $$

 

$$= -\frac{1^2}{16πε_0(1^2)} = -\frac{1}{16πε_0} [N]$$

 

보기에 πε으로 된 형태가 없네요

$\frac{1}{4πε_0} = 9×10^9$ 임을

활용해 계산해야 합니다

 

$$ \frac{1}{16πε_0} = \frac{1}{4×4πε_0} = \frac{1}{4}×(\frac{1}{4πε_0})$$

$$=\frac{1}{4} × (9×10^9)$$

$$=\frac{9}{4} ×10^9$$

 

답은 ③번입니다

 

답) ③

 

 

(문5)

 

(풀이)

 

점전하와 접지된 도체구라는

말이 나오네요

 

전기영상법의

두 번째 케이스입니다

 

영상전하 라는 말이 나와서 

전기영상법 문제임을 떠올리기가

조금 수월하겠네요

 

점전하와 접지된 구도체의

전기영상법에서의

내용은 아래와 같이

정리할 수 있습니다

 

- 영상전하의 위치 : $x=\frac{a^2}{d}$

구도체 내부 어딘가에 있고 

점전하와 구도체의 중심을

이은 직선상에 존재

 

- 영상전하의 크기 : $Q'=-\frac{a}{d} Q$

 

보기를 하나씩 살펴보면

 

① 영상전하가 구도체 내부에

존재하는 것 맞습니다 (O)

 

---

 

② 영상전하의 크기는

 $Q'=-\frac{a}{d} Q$ 이므로

부호도 다르고 크기도 다릅니다

 

얼핏 잘못 생각하면

'영상전하면 거울에 비친 것이니

 부호는 다르고 크기는 같지' 라고 

생각할 수 있으니 조심하자고 했었죠

 

무한평면이면 영상전하가 -Q[C]이니

'크기는 같고 부호만 반대다'

라는 진술이 맞겠지만

접지된 구도체는 무한평면과 

구분해서 기억해야 함을 잊지맙시다

 

따라서 ②는 틀린 진술입니다 (X)

 

---

 

③ 점전하와 구도체의 중심축을

연결한 직선상에

존재하는 것 맞습니다 (O)

 

---

 

④ 영상전하의 위치는

$$x=\frac{a^2}{d}$$

 

도체 중심과 점전하 사이의 거리 : d

도체 반지름 : a

 

따라서 도체 중심과 점전하 사이의 거리와

도체 반지름에 따라 결정되는 것 맞습니다 (O)

 

---

 

답) ②

 

 

(문6)

 

 

 

(풀이)

 

직선도체가 받는 힘의 

크기를 물었는데

 

직선 도체의 전계는

알 것 같은데 힘은 뭐였지

라고 잠깐 고민이 되던 차에

무한평면이 함께 등장한 것이

보입니다

 

무한평면과 직선도체는

전기영상법의

3번째 케이스였습니다

 

평면거울에 빗대어서

반대방향에 - ρ[C/m]의

선전하밀도를 가지는

가상의 직선 도체를

생각해 볼 수 있다고 했죠

 

 F=QE 에서

전하량 Q 대신 선전하밀도 ρ [C/m]가

 주어져 있으므로 

 F= ρ E를 생각해보면

 

반대편의 가상 직선도체에서

실제 직선까지의 거리는 2r이 되고

가상의 직선도체의 선전하밀도는 - ρ이므로

$$F= ρ' E=(- ρ )×\frac{ ρ }{2πε(2r)}=-\frac{ ρ ^2}{4πεr}$$

가 됩니다

 

해당 과정을 모두 떠올려도 되고

'선전하'와 '무한평면' 일때 힘의 공식

$$F= -\frac{ ρ ^2}{4πεr}$$

를 바로 적용해도 되겠습니다

 

 

(-) 부호는 흡인력임을

나타냅니다

크기만 물어보았으므로

답은 ④번입니다

 

답) ④

 

 

(문7)

 

 

(풀이)

 

점전하가 받는 힘을

물어보는데

 

무한평면과 점전하가

등장하므로

 

전기영상법의

첫 번째 케이스입니다

 

평면 반대편의 영상전하량은

-Q[C]이 된다고 했었고

 

두 전하 사이의 힘을 구하면

무한평면과 점전하 사이에

떨어진 거리가 d[m]라고 하면

두 점전하 사이는 2d[m]가 되어

 

$$F=\frac{(+Q)(-Q)}{4πε(2d)^2}=-\frac{Q^2}{16πεd^2} [N]$$

이라고 했었습니다

 

이 과정을 직접 떠올려가며

풀이해도 되고

$$F=-\frac{Q^2}{16πεd^2} [N]$$

라는 공식을 암기해

바로 적용해도 됩니다

 

 

거리 $d=1[m]$

전하량 $Q=4[C]$이므로

$$F=-\frac{Q^2}{16πε_0 d^2} $$

 

$$= -\frac{4^2}{16πε_0(1^2)} = -\frac{1}{πε_0} [N]$$

 

(크기만 구할 땐 부호는 생략해도 됩니다)

 

보기에 πε이 들어간 게 없네요

$\frac{1}{4πε_0} = 9×10^9$ 임을

활용해 계산해야 합니다

 

$$ \frac{1}{πε_0} = 4× \frac{1}{4πε_0} = 4 × (9×10^9) $$

$$=36 ×10^9 $$

$$=3.6 ×10^{10}$$

 

답은 ①번입니다

 

답) ①

 

 

 

(문8)

 

 

 

(풀이)

 

마지막 문제입니다

 

접지된 구형도체 라는 말과

점전하라는 말이 보이네요

 

전기영상법의 

두 번째 케이스입니다

 

접지된 구도체와 점전하에서

영상전하의 위치는

 

- 영상전하의 위치 : $x=\frac{a^2}{d}$

입니다

 

그런데 $\frac{a^2}{d}$ 가 들어간게

②③에 같이 있네요

 

좌표로 물어본 적은 없어서

당황스러울 수 있는데

 

영상전하의 위치를 학습할 때

구도체 내부 어딘가에 있고 

 

점전하와 구도체의 중심을

이은 직선상에 존재한다는

내용을 기억하시나요

 

직선상 혹은

동일한 도체 중심축에 있다고도

표현하는데

 

쉽게 말해

실제 점전하와 영상전하는

같은 축 상에 존재한다는 것입니다

x축이면 x축 

y축이면 y축

z축이면 z축 에 함께 존재해야

직선상에 있게 되는 것이죠

 

(d,0,0)으로 x좌표에

있는 실제 전하에 대한

영상 전하는 똑같이

x좌표 상에 표시되어야 합니다

 

따라서

$(\frac{a^2}{d},0,0)$ 으로 

표시되어야 겠습니다

 

(d,0,0)이 아니라

(0,d,0)으로 주어졌다면

$(0,\frac{a^2}{d},0)$인 ③이 답일 것입니다

 

여기서는 ②번이 답이 됩니다

 

답) ②

 

 

문제가 좀 많았네요

연습문제 풀이는

여기까지입니다

 

 

 

***

 

 

 

< 요약 >

 

 

 

 

 

***

 

 

 

lv2 5장 전기영상법

첫 번째 포스팅을

마무리하려고 합니다

 

lv1에서 새롭게 추가된 내용은

딱히 없고 거울에 빗댄 설명으로

조금 더 이해에 도움이 되었으면

좋겠습니다

 

추가적으로 봤던

약간의 디테일 부분까지

문제를 통해 되새기며

살펴봤는데요

 

이 챕터 문제는 전기영상법임을

알기만하면 생각보다

쉽게 풀어낼 수 있는 면이 있습니다

 

여러 문제를 접하면서

문제에서 주어진 단어들에서

힌트를 잡아 어떤 문제인지

캐치하는 연습을 한다면

 

충분히 정복하실 수 있다고

생각합니다

 

다음 포스팅에서는

영상법에 대한 약간의

추가내용과 함께

5장 챕터 전체 정리 후

바로 5장 마무리하겠습니다!

 

감사합니다!