[Lv2] 6장. 전류 ② 전도전류, 변위전류

 

 

 

 

안녕하세요

공부하는 피카츄입니다

 

Lv2 6장 전류 챕터의

두 번째 포스팅 시작하겠습니다

 

지난 포스팅에서는

전류에 영향을 주는

'저항'의 내용 위주로

살펴보았습니다

 

이번 포스팅은

전류에 대한 내용을

다뤄보려고 합니다

 

 

***

 

 

전류의 정의에 대해서

Lv1에서도 간략하게

학습했었는데요

 

'단위 시간당 도선의 단면적을 통과한 전하량'

이라고 했었습니다

 

좀 더 쉽게 풀어서

'일정한 시간 동안 얼마나

많은 전하량이 통과하는가'

라고 할 수 있는데요

 

식으로 표현하면 전류는

$$I = \frac{Q}{t}$$

입니다

 

이 때 전자가 가진 전하량 Q를

전자의 개수 $n$과

전자 1개가 가지는 전하량 $e$

를 곱한 것으로 표현할 수도 있는데

즉, $Q=ne$로 쓸 수 있으므로

 

$$I = \frac{Q}{t} = \frac{ne}{t}$$

 

로 전류의 공식을

전자의 개수와 함께 표현해

활용하기도 합니다

 

예제로 바로 보겠습니다

 

(예제)

 

 

 

(풀이)

 

전자의 개수를

물어보는 문제입니다

 

전자의 개수가

등장하면

 

전류의 공식에서

 

$$I = \frac{Q}{t} = \frac{ne}{t}$$

을 떠올리면 됩니다

 

전류 $I$와 함께

1초라는 시간 $t$도 주어졌고

전자 1개의 전하량 $e$가

주어졌는데요

 

참고로 전자 1개의 전하량이

문제에서 저렇게 주어지는 

경우도 있고

 

그렇지 않은 경우도 있어서

전자 1개의 전하량이

$$e = 1.602 × 10^{-19} [C]$$

임을 암기해두는 게 좋습니다

 

$I =\frac{ne}{t}$ 에서 

 

$$n=\frac{I×t}{e}=\frac{(1×10^{-6})×1}{ 1.602 × 10^{-19} }$$

$$=6.24 × 10^{-12}$$

 

답은 ③번입니다

 

 

 

답) ③

 

다음 내용으로

넘어가겠습니다

 

 

 

***

 

 

< 전도전류와 변위전류 >

 

이번에는

전류의 종류에 대해 

자기학에서 다루는

'전도전류'와 '변위전류'에 

대한 내용을 살펴보려고 합니다

전도전류는 '도체를 통해 흐르는 전류' 를 

의미하는데요

 

우리가 흔히 전류하면 떠올리는 

그 전류를 말합니다

 

회로에서 전선을 통해 흘러가는 그 전류입니다

 

전도전류를 $I_c$로 표현하는데요

 

$$I_c=\frac{Q}{t}=\frac{ne}{t}$$

 

아까봤던 이 식은 엄밀하게는 

'전도전류'를 구하는 식입니다
옴의법칙이라고 부르는 

$I=\frac{V}{R}$ 공식 역시 마찬가지로

'전도전류'를 구하는 것이라 

볼 수 있습니다

 

 

전류의 종류에 '전도전류와'

'변위전류'가 있다고 했죠

 

변위전류는 

'유전체를 통해 흐르는 전류' 입니다
아래의 평행판콘덴서를 보시면

 

 

3장에서 봤던 내용입니다

평행판 콘덴서에서는 양쪽 판에

전하가 축적이 되고 콘덴서 사이로는

전하가 이동하지 않는다고 했었습니다

 

전류는 일반적으로 도선을 통해

 전하가 이동을 해야 발생하는데 

 

콘덴서의 판과 판 사이로는 

전하가 이동할수 없으므로 

전류가 흐를수가 없다는 것이 

자연스러운 생각인거죠

이 때 판과 판 사이에 

유전체를 삽입하게 되면

 

4장에서 살펴봤듯이

 

 

 

유전체의 분극현상으로 인해

유전체 내 전하들이 움직이며

배열이 바뀌게 되고

양쪽이 (+), (-)로 나눠지게 되고

 이를 통해 전계가 발생하게 됩니다

 

자연스럽게 전속과 전속밀도 

역시 발생하게 되겠죠

이러한 전속밀도의 변화로 인해 

유전체에서 발생하는 전류를 

변위전류라고 합니다

실제로 전도전류처럼 

전류가 흐르는 형태는 아니지만

분극에 의해 전하의 이동이 나타나므로 

 

마치 전류가 흐르는것 같은 효과를

 내는 것이라 이해하면 좋을 것 같습니다

(움직이는 전하를 전류 라고

해석하자고 했었죠)

전류의 두가지 종류가 

전도전류와 변위전류로 구분됨을
살펴보았습니다. 

주로 전도전류는 $I_c$

변위전류는 $I_D$로 표기합니다

 

***

 

< 전류밀도 >

 

전류라는 개념에서

전류밀도라는 개념이 나오는데요

 

전속에서 전속밀도가 있고

전하에서도 선전하밀도, 면전하밀도 등이

있듯이 전류도 전류밀도가 있습니다

 

말그대로 전류의 밀도를 나타내고
'단위면적당 전류'를 말합니다. 

전체전류를 넓이로
나눠준 값이 되겠지요

전류밀도도 동일하게 
전도전류밀도와 변위전류밀도로 

나눠집니다

 

(밀도를 나타낼때는 주로 전도전류밀도는 $i_c$, 

변위전류밀도는 $i_d$ 라는식으로 소문자로 표기합니다)

전도전류가 도체를 통해 흐르는 전류이고
변위전류가 유전체를 통해 흐르는 전류이니

 

전도전류밀도는 전도전류를 

도체의 단면적으로 나눈값이고

 

변위전류밀도는 변위전류를 

유전체의 단면적으로 나눈값
이 됩니다

 

 

$$i_c = \frac{I_c}{S}$$

$$i_d = \frac{I_d}{S}$$

 

 

 

 

***

 

- 전도전류밀도 

 

여기서 전도전류밀도를 좀 더 살펴보면
(그림)
옴의법칙 $V=IR$ , $I=\frac{V}{R}$ 이고, $R=ρ \frac{l}{S}$

 

$$I=\frac{V}{R}=\frac{SV}{ρl}$$

 

$$i_c = \frac{I}{S} = \frac{V}{ ρ l } = \frac{E}{ρ} = kE$$

 

$$ i_c =  \frac{E}{ ρ } = kE$$

 

 

마지막 줄의 공식만 기억해도 됩니다

이 식이 전도전류밀도를 구하는 공식입니다

 

$$ i_c =  \frac{E}{ ρ } = kE$$

 

이 식을 특별히 '옴의 법칙의 미분형' 
이라고 부릅니다

( 대문자 $I=\frac{V}{R}$ 이 

옴의법칙의 적분형이라 볼수있는데

이 적분형이라는 말이

기사시험에 나오진 않습니다

 

이것과 비교해 I에서 넓이 S를 나눠준

 소문자 $i_c$(전도전류밀도)에 대한 식을 

옴의법칙의 미분형 이라고 부릅니다 )

 

미분이란 말이 나와 복잡하다 느끼거나

어떻게 미분을 활용하는거지 라고

어렵게 생각할 필요는 없습니다

 

문제에서는 '옴의 법칙의 미분형'은

무엇인가? 라고만 물어보므로

그 때 저 식을 떠올릴 수만

있으면 답으로 고르면 됩니다

 

정리하면

전도전류밀도는

$$i_c = \frac{I_c}{S} = \frac{E}{ ρ } = kE $$

 

입니다

 

전류라는 말만 나오면 일반적으로

 '전도전류'를 의미하므로
기존에 알고있던 

 

$I=\frac{Q}{t}=\frac{ne}{t}$ 또는 $I=\frac{V}{R}$

 

등을 활용하면 됩니다

 전도전류밀도 : $ i_c =  \frac{E}{ ρ } = kE$
   →  옴의법칙의 미분형

 

전도전류 : $I_c=i_c × S$

 

또는 그외에는 $I=\frac{Q}{t}=\frac{ne}{t}$ , $I=\frac{V}{R}$

 

등으로 구하면 됩니다

 

 

*** 

 

- 변위전류밀도

 

변위전류밀도는 

유전체 내에서 전속밀도가 

시간에 따라 얼마나 변하느냐로 

정의할 수 있습니다

즉

$$i_d=\frac{∂D}{∂t}$$

로 심플하게 정의할수있습니다

 

( ∂ 기호는 전속밀도 D의 미분을 

나타내는 표기이고 

D의 시간에 대한 변화율을

나타내는 것입니다. 

 

그냥 공식이 저런 모양이라고만 암기하셔도 

풀수 있는 문제가 있습니다)

 

여기서

$D=εE$ 이므로

$$i_d=\frac{∂D}{∂t}= ε \frac{∂E}{∂t}$$

로 표현할 수 있습니다

 

( ε는 유전체 등의 고유한 성질이므로

시간에 따라 변화하지 않아 $\frac{∂}{∂t}$

밖으로 빼내서 표현할 수 있습니다 )

 

그리고 변위전류밀도를 구할 때

주파수가 포함된 공식이 

하나 더 있는데 

$ωεE$ 라는 식입니다

( ω는 각주파수이고 $ω=2πf$ 라는 식으로

주파수 $f$를 활용할 수 있습니다 )

 

문제에서 변위전류나 변위전류밀도라는

말이 나오는데, '주파수' 라는 언급이 있다면

$ωεE$ 를 떠올리면 됩니다

 

정리하면 변위전류밀도 공식은

 

$$i_d=\frac{∂D}{∂t}= ε \frac{∂E}{∂t}= ωεE $$

 

입니다

전체변위전류를 구하려면

변위전류밀도를 구한뒤 

면적 S를 곱하면 됩니다

 

$$I_d=i_d×S= \frac{∂D}{∂t} ×S =ε \frac{∂E}{∂t} ×S = ωεE ×S$$

 

가 되겠네요

 

 

 

생소한 개념에다가

식이 많아서

정리가 안될수있을 것 같네요

'전류밀도'와 '전류'를 

구분해서 정리하면 좋은데

 

전류밀도에 대한 식을 먼저알고 

'전류'는 '전류밀도'에 면적을 곱해준다는

 개념으로 기억하시면 편합니다

 

최종적으로 정리하면

 

 

- 전도전류밀도 :  $ i_c =  \frac{E}{ ρ } = kE$ 
  → 옴의법칙의 미분형

 

- 전도전류 : $I_c=i_c × S = \frac{E}{ρ} × S = kE × S $

 

-  '전류'라는 말만 있을 때( → 전도전류) :

 

$I=\frac{Q}{t}=\frac{ne}{t}$ 또는 $I=\frac{V}{R}$ 등

 

--------

 

- 변위전류밀도 : $i_d=\frac{∂D}{∂t}= ε \frac{∂E}{∂t}= ωεE$

 

- 변위전류 : $I_d=i_d×S= \frac{∂D}{∂t} ×S =ε \frac{∂E}{∂t} ×S = ωεE ×S$

 

입니다. 

결론적으로 이 식들을 암기하고 

적용하면 됩니다

 

 

처음엔 복잡해보이고

외울 게 많아보일 수 있는데

암기된 상태가 되면

출제되는 문제는

그렇게 복잡하지 않습니다

 

문제로 연습해보겠습니다

 

***

 

 

(문1)

 

(풀이)

 

변위 전류와

가장 관계가 깊은 것을

물어보네요

 

변위전류를 정의할 때

'유전체를 통하여 흐르는 전류'

라고 정의했었습니다

 

답이 ②번에 바로 보이네요

 

변위전류 공식을 떠올려보면

위에서

 

- 변위전류 : $I_d=i_d×S= \frac{∂D}{∂t} ×S =ε \frac{∂E}{∂t} ×S = ωεE ×S$

 

였었죠. 여기서 ε이 들어간

식이 존재함을 볼 수 있죠

ε(유전율)이라는 말에서

유전체를 떠올려도 좋습니다

 

한 번 보고 나면 쉽게

답이 보이는 문제인데

보기 순서만 바꿔가며

자주 출제되었던 문제입니다

 

답) ②

 

 

(문2)

 

 

(풀이)

 

전자의 개수를

물어보네요

 

위 쪽의 예제에서 봤듯

전자의 개수가 등장하면

 

전류의 공식에서

 

$$I = \frac{Q}{t} = \frac{ne}{t}$$

 

을 떠올리면 된다고 했었죠

 

$I =  \frac{ne}{t}$ 에서

$$n = \frac{I×t}{e}$$

 

I는 나와있는데

t와 e가 안나와있네요

 

문제에 보면

'단위시간 동안' 이라는

말이 있습니다

 

전류 I의 정의가

시간당 통과한 전하량인데

정확히는 초당 통과한 전하량을

말합니다

 

( 그래서 전류의 단위를

[A] 라고 암페어라고 쓰기도 하고

$\frac{Q}{t}$ 에서 나온 단위로

[C/sec]를 쓰기도 합니다 )

 

따라서 여기서 단위시간은 

1초를 가리키는 말로 보면 됩니다

I=50[A], t=1[sec] 이네요

 

e는 전자 1개당 전하량인데

$e=1.6×10^{-19} [C]$ 이라고

한다고 했었습니다

 

문제에서 이렇게 e 값을

주지 않을 경우도 있어서

암기하고 있어야합니다

 

지름이 등장해서 단면적이나

체적을 활용해야할 것 같아

어떤 공식을 써야할 지

고민이 들수도 있는데요

 

문제에 전자의 개수가 나오면

개수와 관련된 전류의 기본식

$$I = \frac{Q}{t} = \frac{ne}{t}$$

이 식을 먼저 적용하고

 

그렇게 해서 풀리지 않고

단면적이나 체적을

활용해야 할 경우 그 때 가서

추가로 적용방법을 고민하는 식으로

접근하면 됩니다

 

이에 대한 문제도 곧

다루겠습니다

 

 

 

 

$$n = \frac{I×t}{e}$$

$$=\frac{ 50×1 }{1.6 ×10^{-19}}$$

$$=31.25× 10^{-19}$$

 

답은 ③번입니다

 

답) ③

 

 

(문3)

 

 

(풀이)

 

변위전류밀도를 

물어보네요

 

그림도 복잡해보이고

보기도 복잡해보이는데

 

위에서 봤던 변위전류밀도의 

공식을 떠올려보면

 

- 변위전류밀도 : $i_d=\frac{∂D}{∂t}= ε \frac{∂E}{∂t}= ωεE$

 

입니다. 이 중에

$i_d=\frac{∂D}{∂t}$

라는 식이 보기에 보이네요

 

공식 모양만 알아도

답을 고를 수 있는 문제입니다

 

위에서 공식이 저렇게 생겼다는

모양만 알아도 풀수 있는

문제가 있다고 했었는데 

이런 유형입니다

 

그림이 나오지않거나

그림이 다른 그림으로 나올뿐

답은 $\frac{∂D}{∂t}$ 로 고정된 형태가

은근히 종종 나오기 때문에

 

해당 공식의 모양을

눈에 익숙하게 봐주시면

보자마자 답을 고를수

있는 유형이 될 거라 생각합니다

 

답은 ①번입니다

 

답) ①

 

 

(문4)

 

 

 

(풀이)

 

옴의법칙을 미분형태로

표시한 것을 물어보는 문제입니다

 

미분이라는 말이 나온다고

복잡하게 느끼거나 보기의

div나 ▽ 같은 게 어렵다고

느낄 필요가 없습니다

 

'옴의법칙의 미분형' 혹은

'옴의법칙을 미분형태로 표시한 것'은

전도전류밀도에서 다룬 공식을

떠올리고 답으로 체크만

할 수 있으면 됩니다

 

- 전도전류밀도 :  $ i_c =  \frac{E}{ ρ } = kE$ 

 

이 식을 '옴의법칙의 미분형'

이라고도 한다고 했습니다

 

문제마다 도전율을 $k$ 또는 $σ$로

다르게 줄 수 있는데

여기서는 도전율 $k$ 또는 $σ$가 아니라

저항률 $ρ$ 가 주어졌음에

유의해야 합니다

 

( $σ$는 '시그마' 라고 읽고

$ρ$는 '로우' 라고 읽습니다

비슷해 보이지만 다른 문자고

도전율과 고유저항(저항률)에 쓰이면

서로 역수관계임을 잊지 맙시다 )

 

$ \frac{E}{ ρ }$ 형태와 같은 것이

 

①번에 $\frac{1}{ ρ }×E$  라고

주어져있네요

 

답) ①

 

 

(문5)

 

 

(풀이)

 

전계의 주파수를 물어보는

문제가 있었나 생각할 수 있는데

문제에서 '변위전류밀도' 라는

말이 보이네요

 

변위전류밀도의 공식은

 

- 변위전류밀도 : $i_d=\frac{∂D}{∂t}= ε \frac{∂E}{∂t}= ωεE$

 

입니다. 여기서 주파수라는

말이 있으면 $ωεE$ 를

떠올리자고 했었습니다

 

[V/m] 단위로 된 전계 E가 2로

변위전류밀도의 크기가 2로

주어졌고 공기 중이라고 했으므로

ω를 구할 수 있고

 

$ω=2πf$ 이므로

주파수 f를 구할 수 있습니다

 

 

$i_d = ωεE$ 에서

 

$$ω=\frac{ i_d }{ εE }$$

$$= \frac{2}{(8.85×10^{-12})×2}$$

$$≒ 0.11299×10^{12}$$

 

$ω=2πf$ 이므로

$$f=\frac{ ω }{ 2π }$$

$$ = \frac{ 0.11299 ×10^{12}}{ 6.28 } ≒ 0.17992 × 10^{12}$$

 

단위가 M($=10^6$) 단위네요

[Mhz] , 즉 $10^6$[Hz] 로 

물어보았으므로

반대로 $10^{-6}$을 곱해줘야 합니다

 

$$0.17992 × 10^{12} × 10^{-6} = 0.17992 × 10^{6}$$

$$=17992 ≒ 18000$$

 

답은 ②번입니다

 

답) ②

 

 

(문6)

 

 

 

(풀이)

 

조금 복잡할 수 있는

문제입니다

 

전자가 흐르는 시간을

물어보네요

 

전류가 나오고 시간이

나오니 떠오르는 공식이

 

$$I = \frac{Q}{t} = \frac{ne}{t}$$

 

이 식을 써야하나 싶은

생각이 들텐데

 

전자의 개수 n이

문제에 없는것 같아보입니다

 

여기서는 '전자밀도'를 통해

전자의 개수 n을 준 것인데요

 

전자밀도가 무슨말인지

모르겠다 싶을수 있는데

단위를 보면 $[개/m^3]$ 이라고

되어있습니다

 

단위체적 $1[m^3]$당 전자의 개수라는

의미입니다

 

전자밀도가 $1×10^{28}$ $[개/m^3]$ 라는 것은

$1[m^3]$당 전자가 $1×10^{28}$개 라는 것이죠

그러면 전체 전자개수는

 

n=(단위체적당 전자의 개수)×(동선의 체적)

 

으로 구할 수 있는 것입니다

 

동선의 체적을 어떻게 구할까요

동선의 체적(부피)은

단면적(원의 면적)×길이 로

구할 수 있습니다

 

지름이 5mm 이므로

반지름은 $2.5 [mm] = 2.5×10^{-3} [m]$

 

단면적은 $π× (2.5×10^{-3})^2 ≒ 19.625×10^{-6}$

 

길이는 $1[cm]=10^{-2}[m]$ 이고

체적은 단면적×길이 이므로

$19.625×10^{-6} ×10^{-2} = 19.625×10^{-8}$

 

전자밀도에 체적을 곱한 것이

전체 전자의 개수 n이므로

$n=( 19.625×10^{-8})×(1×10^{28})$

$$=19.625 ×10^{20}$$

 

여기까지가 전자의 개수

n을 구한 과정입니다

 

 

$I = \frac{Q}{t} = \frac{ne}{t}$ 에서

$I=1$ , e값은 $e=1.6× 10^{-19}$

(e는 암기해야하는 값이라고 했습니다)

흐르는 시간 t를 구해야 하므로

 

$$t=\frac{n×e}{I}$$

$$= \frac{(19.625×10^{20}) ×(1.6 ×10^{-19})}{1}$$

$$=31.4×10=314$$

 

답은 ③번입니다

 

$$I = \frac{Q}{t} = \frac{ne}{t}$$

로 풀리는 건 똑같은데

 

전자의 개수 n이 문제에

바로 주어져있는지

아니면 이번처럼 체적을 구해서

개수를 직접 구해야 하는지에 대한

차이가 있을 뿐입니다

 

앞의 문제2번에서

우선 $I = \frac{Q}{t} = \frac{ne}{t}$ 이 식만으로

풀리는지 확인하고

 

안 풀릴 때 지름 등을 활용하는

방법을 고민하면 된다라고 한게

이번 문제를 말한 것입니다

 

너무 복잡하거나 어려워보이면

314라는 답만 체크하고

넘어가셔도 됩니다

 

답) ③

 

 

(문7)

 

 

 

(풀이)

 

이번 포스팅의

마지막 문제입니다

 

변위전류와 전도전류가

함께 언급되네요

 

- 변위전류 : $I_d=i_d×S= \frac{∂D}{∂t} ×S =ε \frac{∂E}{∂t} ×S = ωεE ×S$

 

- 전도전류 : $I_c=i_c × S = \frac{E}{ρ} × S = kE × S $

 

변위전류라는 말과 함께

주파수라는 말이 언급되면

$ωεE$를 떠올리자고 했었죠

 

그리고 문제에서 도전율 $σ$이

주어졌으므로

전도전류식은 $kE= σE$를 

적용할 수 있습니다

 

변위전류와 전도전류가

같아진다고 했으므로

 

$ωεE×S = σE ×S$ 입니다. 

 

 

이때 $ω=2πf$ 이므로

 

$$2πf εE×S = σE ×S$$

가 됩니다

 

( 문제에서 μ는 자기 파트에 나오는

투자율인데 해당 문제에선

푸는데 필요하지 않네요 )

 

 

E와 S는 각각 약분되고

$$f=\frac{σ}{ 2πε }= \frac{ σ }{ 2π ε_o ε_r } = \frac{σ}{ 2π×6×ε_o} $$

 

$$= \frac{ 1 }{ 2 × 3.14 × 6 × (8.85×10^{-12}) } ≒ 0.00299×10^{12}$$

 

$$= 2.99 ×10^{9} ≒ 3.0 ×10^{9}$$

 

답은 ①번입니다

 

답) ①

 

 

문제가 좀 많았네요

연습문제까지 모두 

풀어보았습니다

 

 

 

***

 

 

< 요약 >

 

 

 

 

 

***

 

Lv2 6장 두 번째 포스팅 내용은

여기까지입니다

 

저번 포스팅이 '저항' 위주의

내용이었다면

 

이번 포스팅은 '전류' 위주의

내용이었네요

 

개념이나 기호가 생소하게

느껴질 수도 있지만

 

요약 내용을 보시면

정작 문제를 푸는데

필요한 핵심은 그렇게

복잡하거나 많지 않음을

보실 수 있습니다

 

할 수 있다는 자신감을 

가지고 차근차근 천천히

보다보면 분명히 보이는 바가

생길 것이라 희망합니다

 

다음 포스팅은

6장 마지막 내용으로

각종 전기적 효과 내용 등을

복습하고 챕터 전체를

정리한 뒤 마무리하겠습니다

 

감사합니다!